Đến nội dung


Hình ảnh

$2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 hoanglong9a1

hoanglong9a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình, đặc biệt là đường tròn

Đã gửi 04-12-2017 - 21:17

1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$

2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$



#2 Sudden123

Sudden123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 04-12-2017 - 21:32

1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$
2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$

1,Với tính thuần nhất của BĐT trên,ta chuẩn hóa:$abc=1$ $ a+b+c \ge 3$

Bài toán quy về CM:$2(a^2+b^2+c^2)+9 \ge 5(a+b+c)$

Ta có:$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2(a+b+c)$(biến đổi tương đương)

Do đó ta chỉ CM:

$a^2+b^2+c^2+6 \ge 3(a+b+c)$

Đặt: $a+b+c=p$ và $ab+bc+ca=q$

$Q.E.D$ \Leftrightarrow $p^2-3p+6\ge 2q$

Theo BĐT schur:$\frac{p^3+9}{2p}\ge 2q$

Ta sẽ CM: $p^2-3p+6 \ge \frac{p^3+9}{2p}$

\Leftrightarrow $(p-3)(p^2-3p+3)\ge 0$

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với $p\ge 3$ $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sudden123: 04-12-2017 - 21:34


#3 hoanglong9a1

hoanglong9a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình, đặc biệt là đường tròn

Đã gửi 04-12-2017 - 21:33

Có thể sử dụng nguyên lí dirichlet ko bn



#4 Sudden123

Sudden123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 04-12-2017 - 21:34

Có thể sử dụng nguyên lí dirichlet ko bn


Mk chưa nghĩ tới

#5 ducthai2133

ducthai2133

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Analytics,Philosophy

Đã gửi 04-12-2017 - 21:39

1, đặt A nhé
Ta có thể chọn a+b+c=3

có $abc = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} - (a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac ->A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+8$
dễ dàng chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
do đó:$A=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca+8 ->A=\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 ->A=\frac{25}{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) ->A=\frac{5}{6}(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)+\frac{10}{3}(a+b+c)$
đến đây cauchy là ra nhé
câu 2 cũng ý tưởng thế này


Sự quyến rũ của người phụ nữ ko đến từ vẻ đẹp của cô ấy mà đến từ đôi mắt của kẻ si tình...


#6 hoanglong9a1

hoanglong9a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình, đặc biệt là đường tròn

Đã gửi 04-12-2017 - 21:43

Đây nữa nhé:

3.Cho a,b,c >0; abc=1.CM $(\sum \frac{1}{a^2})+3\geq 2(a+b+c)$



#7 hoanglong9a1

hoanglong9a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình, đặc biệt là đường tròn

Đã gửi 04-12-2017 - 22:04

1, đặt A nhé
Ta có thể chọn a+b+c=3

có $abc = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} - (a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac ->A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+8$
dễ dàng chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
do đó:$A=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca+8 ->A=\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 ->A=\frac{25}{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) ->A=\frac{5}{6}(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)+\frac{10}{3}(a+b+c)$
đến đây cauchy là ra nhé
câu 2 cũng ý tưởng thế này

Mà bạn ơi dấu = xảy ra khi nào vậy



#8 hoanglong9a1

hoanglong9a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình, đặc biệt là đường tròn

Đã gửi 04-12-2017 - 22:29

1, đặt A nhé
Ta có thể chọn a+b+c=3

có $abc = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} - (a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac ->A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+8$
dễ dàng chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
do đó:$A=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca+8 ->A=\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 ->A=\frac{25}{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) ->A=\frac{5}{6}(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)+\frac{10}{3}(a+b+c)$
đến đây cauchy là ra nhé
câu 2 cũng ý tưởng thế này

Ban làm sai rồi $a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$ sai



#9 hoanglong9a1

hoanglong9a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình, đặc biệt là đường tròn

Đã gửi 04-12-2017 - 22:35

1,Với tính thuần nhất của BĐT trên,ta chuẩn hóa:$abc=1$ $ a+b+c \ge 3$

Bài toán quy về CM:$2(a^2+b^2+c^2)+9 \ge 5(a+b+c)$

Ta có:$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2(a+b+c)$(biến đổi tương đương)

Do đó ta chỉ CM:

$a^2+b^2+c^2+6 \ge 3(a+b+c)$

Đặt: $a+b+c=p$ và $ab+bc+ca=q$

$Q.E.D$ \Leftrightarrow $p^2-3p+6\ge 2q$

Theo BĐT schur:$\frac{p^3+9}{2p}\ge 2q$

Ta sẽ CM: $p^2-3p+6 \ge \frac{p^3+9}{2p}$

\Leftrightarrow $(p-3)(p^2-3p+3)\ge 0$

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với $p\ge 3$ $đpcm$

Bạn cũng sai.Nếu mik giả sử abc=8 thì ko còn dấu bằng nữa.ĐT thuần nhất chỉ dùng khi dấu = là a=b=c thôi nhé



#10 ducthai2133

ducthai2133

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Analytics,Philosophy

Đã gửi 05-12-2017 - 15:52

Ban làm sai rồi $a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$ sai

$a^{3}+a\geq 2a^{2}$
tương tự: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
mà có $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}->a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
có đpcm rồi đấy, dấu = khi a=b=c=1


Sự quyến rũ của người phụ nữ ko đến từ vẻ đẹp của cô ấy mà đến từ đôi mắt của kẻ si tình...


#11 hoanglong9a1

hoanglong9a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình, đặc biệt là đường tròn

Đã gửi 05-12-2017 - 18:05

$a^{3}+a\geq 2a^{2}$
tương tự: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
mà có $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}->a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
có đpcm rồi đấy, dấu = khi a=b=c=1

Ko được giả sử nhé vì bđt này ko hề thuần nhất ( ko đồng bậc )



#12 ducthai2133

ducthai2133

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Analytics,Philosophy

Đã gửi 05-12-2017 - 18:42

Ko được giả sử nhé vì bđt này ko hề thuần nhất ( ko đồng bậc )

thế hả. mình quên mất cái quan trọng này :))


Sự quyến rũ của người phụ nữ ko đến từ vẻ đẹp của cô ấy mà đến từ đôi mắt của kẻ si tình...


#13 victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sydney
  • Sở thích:Chính Trị, Toán Học, Naruto

Đã gửi 05-12-2017 - 21:00

1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$

2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$

câu 1 : t k biết gõ talex nên viết chay ;

 xét a-1,b-1,c-1 thì tồn tại 2 số cùng giấu, gs (a-1)(b-1)>=0 => abc=>ac+bc-c

 thay vào đề suy ra ta cần cm : 2(a^2...) + ac+bc+8>=5a+5b+6c

 đến đây chuyển vế coi là phương trình bậc 2 ẩn c, xét delta có delta<=0 suy ra f(c) >=0

dấu = khi a=b=c=1


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#14 minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:chưa tìm thấy

Đã gửi 06-12-2017 - 16:23

Câu 3. Đặt $(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})= (x;y;z)\Rightarrow xyz=1$

Khi đó ta cần chứng minh $\sum a^{2}+3\geq 2\sum ab$

$\Leftrightarrow \sum a^{2}+2abc+1\geq 2\sum ab$(Vì $abc=1)$

Trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng bé hoặc cùng lớn hơn 1,ko mất tính tổng quát ta giả sử 2 sô dó là b;c

$\Rightarrow a(b-1)(c-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc+a\geq ab+ac\Leftrightarrow 2abc+2a+2bc\geq 2(ab+bc+ca)$

Mà $\left\{\begin{matrix} a^{2}+1\geq 2a\\ b^{2}+c^{2}\geq 2bc \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ (Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 06-12-2017 - 16:26

Đặng Minh Đức CTBer


#15 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 07-05-2021 - 21:38

1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$

https://diendantoanh...hello-imo-2007/


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh