Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$.
#1
Đã gửi 05-12-2017 - 22:06
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 07-12-2017 - 22:00
Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$.
Lời giải vắn tắt:
\[f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p) (1)\]
Từ $(1)$, ta thấy $p|n$.
Lựa $n:=p$ với $p$ là một số nguyên tố bất kỳ, $(1) \Rightarrow f(p)=f(1)-f(p) \Rightarrow f(p)=\frac{1}{2}f(1)\text{ } (2)$
Xét $f(p_1p_2)$ thì theo $(1)$, ta có 2 trường hợp:
TH1: $f(p_1p_2)=f(p_1)-f(p_2)=0$
TH2: $f(p_1p_2)=f(p_2)-f(p_1)=0$
Cả hai trường hợp đều cho ta $f(p_1p_2)=0$ với mọi $p_1,p_2$ nguyên tố.
Tiếp tục:
\[\begin{array}{l}
f\left( {{p_1}{p_2}{p_3}} \right) = \left[ \begin{array}{l}
f\left( {{p_1}{p_2}} \right) - f\left( {{p_3}} \right)\\
f\left( {{p_2}{p_3}} \right) - f\left( {{p_1}} \right)\\
f\left( {{p_3}{p_1}} \right) - f\left( {{p_2}} \right)
\end{array} \right. = - \frac{1}{2}f\left( 1 \right)\\
f\left( {2001} \right) = f\left( {3.23.29} \right) = - \frac{1}{2}f\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) = - 2\\
f\left( {{p_1}{p_2}{p_3}{p_4}} \right) = \left[ \begin{array}{l}
f\left( {{p_1}{p_2}{p_3}} \right) - f\left( {{p_4}} \right)\\
f\left( {{p_2}{p_3}{p_4}} \right) - f\left( {{p_1}} \right)\\
f\left( {{p_3}{p_4}{p_1}} \right) - f\left( {{p_2}} \right)\\
f\left( {{p_4}{p_1}{p_2}} \right) - f\left( {{p_3}} \right)
\end{array} \right. = - f\left( 1 \right)\\
f\left( {2002} \right) = f\left( {2.7.11.13} \right) = 2
\end{array}\]
- namcpnh yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 07-12-2017 - 22:06
Nhận xét: Có thể tính cụ thể ra rằng, nếu $a$ là tổng số mũ của các lũy thừa trong phân tích thừa số nguyên tố của $n$ thì $f(n)=2-a$.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh