Đến nội dung

Hình ảnh

$f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$. 


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$. 

Lời giải vắn tắt:

\[f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p) (1)\]

Từ $(1)$, ta thấy $p|n$.

Lựa $n:=p$ với $p$ là một số nguyên tố bất kỳ, $(1) \Rightarrow f(p)=f(1)-f(p) \Rightarrow f(p)=\frac{1}{2}f(1)\text{  } (2)$

Xét $f(p_1p_2)$ thì theo $(1)$, ta có 2 trường hợp:

TH1: $f(p_1p_2)=f(p_1)-f(p_2)=0$

TH2: $f(p_1p_2)=f(p_2)-f(p_1)=0$

Cả hai trường hợp đều cho ta $f(p_1p_2)=0$ với mọi $p_1,p_2$ nguyên tố.

Tiếp tục:

\[\begin{array}{l}
f\left( {{p_1}{p_2}{p_3}} \right) = \left[ \begin{array}{l}
f\left( {{p_1}{p_2}} \right) - f\left( {{p_3}} \right)\\
f\left( {{p_2}{p_3}} \right) - f\left( {{p_1}} \right)\\
f\left( {{p_3}{p_1}} \right) - f\left( {{p_2}} \right)
\end{array} \right. =  - \frac{1}{2}f\left( 1 \right)\\
f\left( {2001} \right) = f\left( {3.23.29} \right) =  - \frac{1}{2}f\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - 2\\
f\left( {{p_1}{p_2}{p_3}{p_4}} \right) = \left[ \begin{array}{l}
f\left( {{p_1}{p_2}{p_3}} \right) - f\left( {{p_4}} \right)\\
f\left( {{p_2}{p_3}{p_4}} \right) - f\left( {{p_1}} \right)\\
f\left( {{p_3}{p_4}{p_1}} \right) - f\left( {{p_2}} \right)\\
f\left( {{p_4}{p_1}{p_2}} \right) - f\left( {{p_3}} \right)
\end{array} \right. =  - f\left( 1 \right)\\
f\left( {2002} \right) = f\left( {2.7.11.13} \right) = 2
\end{array}\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Nhận xét: Có thể tính cụ thể ra rằng, nếu $a$ là tổng số mũ của các lũy thừa trong phân tích thừa số nguyên tố của $n$ thì $f(n)=2-a$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh