Chủ đề này có 1 trả lời

[Acmavodanh]

Mọi người cho e hỏi vì sao tập N cùng với phép toán cộng và nhân không phải là 1 vành ạ.

[vutuanhien]

Mọi người cho e hỏi vì sao tập N cùng với phép toán cộng và nhân không phải là 1 vành ạ.

Định nghĩa của một vành là như sau: Một vành $R$ là một tập hợp $R$ được trang bị $2$ phép toán hai ngôi là phép cộng và nhân $$+: R\times R\to R, (a,b)\mapsto a+b$$ $$\cdot: R\times R\to R, (a,b)\mapsto a\cdot b$$ thỏa mãn các điều kiện sau:

 

1) $R$ cùng với phép toán cộng là một nhóm abel.

2) Phép nhân trên $R$ thỏa mãn các tính chất:

Tính kết hợp: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Tính phân phối: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

 

Ta thấy phép nhân trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện $2$. Tuy nhiên $\mathbb{N}$ cùng với phép toán cộng không thỏa mãn điều kiện $1$. Cụ thể là phép cộng trên $\mathbb{N}$ vẫn thỏa mãn các tính chất kết hợp, có phần tử trung lập và giao hoán, nhưng không thỏa mãn điều kiện về phần tử nghịch đảo. Với mỗi số $n\in \mathbb{N}$ khác $0$, không tồn tại số tự nhiên $m$ nào sao cho $m+n=0$, bởi điều đó có nghĩa là $-n\in \mathbb{N}$, vô lý.