Chủ đề này có 3 trả lời

[namcpnh]

 Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:

i) $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$

ii) $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn \forall m,n \in \mathbb{Z}^+$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 24-12-2017 - 21:31

[minhbeo12]

Gọi $P(m, n)$ là cách thay giá trị lần lượt của $m,n$ vào ii).

$P(1,1):f(2)=2f(1)+2$ (1)

$P(1,2):f(3)=f(2)+f(1)+4=3f(1)+6$ (2)

$P(1,3):f(4)=f(3)+f(1)+6=4f(1)+12$ (3)

Sử dụng quy nạp ta chứng minh được $f(n)=nf(1)+(n-1)*n.$

Từ (1) $\Rightarrow f(1)$ lẻ (nếu $f(1)$ chẵn thì $f(2)$ chia $4$ dư $2$ mâu thuẫn với $f(2)$ là số chính phương)

Đặt $f(1)=(2a+1)^2,$ từ (3) $\Rightarrow 16a^2+16a+16=k^2.$

Lại có $(4a+2)^2<16a^2+16a+16<(4a+3)^2(a>0) \Rightarrow a = 0.$

Do đó $f(1)=1 \Rightarrow f(n)=n^2.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-12-2017 - 07:41

[namcpnh]

Cách của mình (cũng tương tự):

Giả sử hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:

i) $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$

ii) $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn \forall m,n \in \mathbb{Z}^+$

$T_{ii}(n,1)\Rightarrow f(n+1)=f(n)+f(1)+2n$

$\Rightarrow f(n+1)-f(n)=2n+f(1)$

Lại có $f(n)-f(n-1)=2(n-1)+f(1)$

...

$f(2)-f(1)=2+f(1)$

$\Rightarrow f(n)-f(1)=n(n-1)+(n-1)f(1)\Rightarrow f(n)=n(n+c)$ (với $c=f(1)-1$)(1)

Nếu $c$ khác $0$:

$T_1(c)\Rightarrow f(c)=2c^2$, mà $v_2(2c^2)=2k+1$ (với $v_2(c)=k$) là số lẻ trong khi $v_2(f(c))$ chắn (do $f(c)$ là số chính phương) (Vô lý)

$\Rightarrow c=0$

Vậy $f(n)=n^2\forall n\in\mathbb{Z}^+$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 26-12-2017 - 19:23

[hoang9antt]

Đặt $h(n)=f(n)-n^2$

Ta có $h(m+n)=h(m)+h(n)$

Suy ra $h(m)=k.m$ (pth cosy)

Khi đó $h(n)=n.h(1)$,hay $f(n)-n^2=n.(f(1)-1) (*)$

Nên: $f(n)=n^2-n+n.f(1)$ là SCP

thay $n$ bằng $p$ là SNT

suy ra $f(p)=p^2-p+p.f(1)$ chia hết cho $p$ nên chia hết cho $p^2$(do là SCP)

nên $f(1)-1$ chia hết cho $p$.do đó $f(1)-1=0$.Nên $f(1)=1$

Thay trờ lại suy ra $f(n)=n^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 17-03-2023 - 16:17
LaTeX