Gọi $S$ là tập hợp các số $n$ sao cho $\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(1),f(2),...,f(n)\right \}$.
Dễ thấy: $ \forall a\neq b\,\text{thì} f(m)\neq f(n)$
Ta chứng minh: $f(k)=k\forall k$ (1).
Thật vậy, với $k=1$ thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng $\forall m\leqslant k$, ta chứng minh $f(k+1)=k+1$.
Xét $n\in S$ sao cho $n\geq k+1$.
Gọi $t$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $(k+1)^t<n\Rightarrow (k+1)^{t+1}\geq n$.
Giả sử $f(k+1)>k+1$, khi đó:
Do $(k+1)^t<n$ nên $f(k+1)^t\leqslant n\leqslant (k+1)^{t+1}$
$\Rightarrow (\frac{f(k+1)}{k+1})^t\leqslant k+1$
Cho $n\rightarrow \infty\Rightarrow t\rightarrow \infty$, mà $\frac{f(k+1)}{k+1}>1\Rightarrow(\frac{f(k+1)}{k+1})^t\rightarrow \infty$ (vô lý do $(\frac{f(k+1)}{k+1})^t\leqslant k+1$)
Vậy ta có (1) đúng với mọi k hay $f(n)=n\,\forall n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-01-2018 - 15:02