Chủ đề này có 4 trả lời

[Kar Kar]

1.

Cho a,b,c và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Tìm max,min

A= $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

2.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm min

$A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

3.

Cho $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=10$

Tìm min

$A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

4.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm max

$A=a^{2}+b^{2}+c^{2} +2\sqrt{3abc}$

5.

Cho a,b,c>0.Tìm min

$A=\frac{ab+bc+ac}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kar Kar: 03-01-2018 - 22:14

[MathematicsLover]

2.

Có: $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^2a)+(b^3+c^2b)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

$A \geq a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Đặt: $a^2+b^2+c^2=t \Rightarrow 3t\geq (a+b+c)^2=9\Rightarrow t\geq 3$

$A\geq t+\frac{9-t}{2t}=t+\frac{9}{2t}-\frac{1}{2}=(\frac{t}{2}+\frac{9}{2t})+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 4$

GTNN của A là 4 <=> a=b=c=1

[nmtuan2001]

4.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm max

$A=a^{2}+b^{2}+c^{2} +2\sqrt{3abc}$

5.

Cho a,b,c>0.Tìm min

$A=\frac{ab+bc+ac}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

 

4. $A=(a+b+c)^2+2(\sqrt{3abc(a+b+c)}-ab-bc-ca) \leq (a+b+c)^2=1$

5. https://diendantoanh...2c2fracabc3abc/

[nmtuan2001]

3.

Cho $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=10$

Tìm min

$A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

Từ điều kiện: $\sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})=7$.

Đặt $x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2, y=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2, z=\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-2$, ta được $x+y+z=1$, $x,y,z \geq 0$ và giả sử $x=min{x,y,z}$.

$$A=3+\sum (\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})=(x+2)^2+(y+2)^2+(z+2)^2-3=x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+9$$

$$=x^2+y^2+z^2+13$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 04-01-2018 - 11:14

[nmtuan2001]

 

1.

Cho a,b,c và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Tìm max,min

A= $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

 

$A=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$A^2=(1+2(ab+bc+ca))(1-(ab+bc+ca))^2$

Đặt $ab+bc+ca=x$

$A^2-1=(1+2x)(1-x)^2-1=2x^3-3x^2=x^2(2x-3) \leq 0$ vì $x \geq a^2+b^2+c^2=1$.

Do đó $-1 \leq A \leq 1$.

Vậy min $A=-1$ khi $(a,b,c)=(0,0,-1)$ và các hoán vị

Max $A=1$ khi $(a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 05-01-2018 - 13:47