Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q}$

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q}$$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Giả sử hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q}$ (1)
$T_{(1)}(0,0)\Rightarrow f(0)=f(0)^2-f(0)+1\Rightarrow(f(0)-1)^2=0\Rightarrow f(0)=1$
$T_{(1)}(x,1)\Rightarrow f(x+1)=f(x)f(1)-f(x)+1\,\forall x$ (2)
$T_{(1)}(x,-x)\Rightarrow f(x)f(-x)=f(-x^2)\,\forall x$ (3)
$T_{(3)}(1)\Rightarrow f(1)f(-1)=f(-1)\Rightarrow f(1)=1\,\text{hay}\,f(-1)=0$
Nếu $f(1)=1$, (2)$\Rightarrow f(x+1)=1\,\forall x\Rightarrow f(x)=1\,\forall x$
Nếu f(-1)=0.
$T_{(1)}(x,-1)\Rightarrow f(x-1)=-f(-x)+1\,\forall x\Rightarrow f(-x)=1-f(x-1)$
Đặt $u_n=f(n)$, $f(1)=a$. Ta có: $u_{n+1}=u_n(a-1)+1$
Nếu $a\neq2:\Rightarrow u_n=a(a-1)^{n-1}+\frac{(a-1)^{n-1}-1}{a-2}\Rightarrow f(n)=a(a-1)^{n-1}+\frac{(a-1)^{n-1}-1}{a-2}\,\forall n\geq 1 $
Xét $x\in\mathbb{N}^*,\,x>1,\,\text{ta có:}\,f(x)f(-x)=f(-x^2)$
$\Rightarrow f(x)(1-f(x-1))=1-f(x^2-1)$
$\Rightarrow f(x)-f(x)f(x-1)=1-f(x^2-1)$
$\Rightarrow a(a-1)^{x-1}+\frac{(a-1)^{x-1}-1}{a-2}-(a(a-1)^{x-1}+\frac{(a-1)^{x-1}-1}{a-2}).(a(a-1)^{x-2}+\frac{(a-1)^{x-2}-1}{a-2})=1-a(a-1)^{x^2-1}-\frac{(a-1)^{x^2-1}-1}{a-2}$
Cho $x=2$, ta được:
$a(a-1)+\frac{a-1-1}{a-2}-(a(a-1)+\frac{a-1-1}{a-2}).(a+\frac{1-1}{a-2})=1-a(a-1)^3-\frac{(a-1)^3-1}{a-2}$
$\Rightarrow -a^4+3a^3-4a^2=-a^3+2a^2-2a+1$
$\Rightarrow a^4-4a^3+6a^2-2a+1=0$
$\Rightarrow (a^2-1)^2+(a-1)^2+a^2=0\,\text{(vô lý)}$
Vậy $a=2\, \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$
Như vậy: $u_{n+1}=u_n+1$ và $u_1+2$
$\Rightarrow u_n=n+1$ hay $f(n)=n+1$ với mọi số nguyên dương $n$.
$\Rightarrow f(-n)=1-f(n-1)=-n+1$
Do $f(x+1)=f(x)+1$ nên $f(x+m)=f(x)+m$ với mọi số nguyên dương $m$.
Xét số $x=\frac{p}{q}$ với $p,\,q\in\mathbb{Z}^*,\,(p,q)=1$, ta có:
$T_{(1)}(\frac{p}{q},q)\Rightarrow f(q+\frac{p}{q})=f(q)f(\frac{p}{q})-f(p)+1$
$\Rightarrow f(\frac{p}{q})+q=(q+1)f(\frac{p}{q})-(p+1)+1$
$\Rightarrow f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$
Vậy $f(x)=x+1\,\forall x\in \mathbb{Q}$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh