Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Cho hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ không giảm thỏa mãn:
$f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi số $m$ và $n$ cùng nhau.
Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 17-01-2018 - 22:04

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Ta sẽ tìm 2 số $x,\,y$ sao cho:
$f(8)f(x)\geq f(y)f(10)$ và
$f(y)f(13)\geq f(10)f(x)$
Do đó ta cần $(8,x)=(y,10)=(y,13)=(x,10)=1$ và 
$8x\geq 10y$
$13y\geq 10x$
Nhận xét: $x,\,y$ phải lẻ và khác 1, 5.Ta xét các trường hợp sau:
TH1: Nếu chọn $y=3$ ta có:
$8x\geq 30$
$39\geq 10x$ (loại do không chọn được $x$)
TH2: Nếu chọn $y=7$ ta có:
$8x\geq 70$
$91\geq 10x$
$\Rightarrow x=9$
Vậy ta có:
$f(8)f(9)=f(72)\geq f(70)=f(7)f(10)$
$f(13)f(7)=f(91)\geq f(90)=f(9)f(10)$
$\Rightarrow f(13)f(8)\geq f(10)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 18-01-2018 - 17:07

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh