Chủ đề này có 4 trả lời

[Kar Kar]

1.

Cho -1<a,b,c<1. a+b+c=0.CM

$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2$

2.

Cho $a\geq 4,b\geq 5,c\geq 6, a^{2}+c^{2}+c^{2}=90.$

Cm.$ a+b+c\geq 16$

3.

Cho $a,b,c     \epsilon \begin{bmatrix} 1;2 \end{bmatrix}$

cm. $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kar Kar: 17-01-2018 - 22:08

[nmtuan2001]

2.
Cho $a\geq 4,b\geq 5,c\geq 6, a^{2}+b^{2}+c^{2}=90.$
Cm.$ a+b+c\geq 16$

Đặt $a=x+4, b=y+5, c=z+6$ thì $x,y,z \geq 0$ và đk trở thành $x^2+y^2+z^2+8x+10y+12z=13$.
Mà $x^2+y^2+z^2 \leq (x+y+z)^2=t^2$ và $8x+10y+12z \leq 12(x+y+z)=12t$ với $t=x+y+z$, nên
$$t^2+12t \geq 13$$
$$(t-1)(t+13) \geq 0$$
Do đó $t \geq 1$, suy ra $a+b+c=15+t \geq 16$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=4, b=5, c=7$.

[nmtuan2001]

1. Đặt $a=x-1, b=y-1, c=z-1$ thì $0<x,y,z<2$ và $x+y+z=3$.
BĐT trở thành $\sum (x-1)^2<2$, hay $x^2+y^2+z^2<5$.
Giả sử $x=max(x,y,z)$ thì $x \geq \frac{x+y+z}{3}=1$.
Ta có $y^2+z^2<(y+z)^2=(3-x)^2$, nên cần chứng minh
$$x^2+(3-x)^2<5$$
$$2(x-1)(x-2)<0$$
BĐT đúng vì $1 \leq x<2$

3. Bài này khá quen thuộc.
https://diendantoanh...rac1cleq-10036/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 17-01-2018 - 22:56

[YoLo]

1.

Cho -1<a,b,c<1. a+b+c=0.CM

$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2$

2.

Cho $a\geq 4,b\geq 5,c\geq 6, a^{2}+c^{2}+c^{2}=90.$

Cm.$ a+b+c\geq 16$

3.

Cho $a,b,c     \epsilon \begin{bmatrix} 1;2 \end{bmatrix}$

cm. $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

1, co (a+1)(b+1)(c+1)>0

          (1-a)(1-b)(1-c)>0

=> (abc+ab+bc+ca+a+b+c+1)+(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc)>0

=> 2ab+2bc+2ca>-2

=> (a+b+c)²-a²-b²-c²>-2

=> a²+b²+c²<2

[DOTOANNANG]

1.

Cho -1<a,b,c<1. a+b+c=0.CM

$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2$

2.

Cho $a\geq 4,b\geq 5,c\geq 6, a^{2}+c^{2}+c^{2}=90.$

Cm.$ a+b+c\geq 16$

3.

Cho $a,b,c     \epsilon \begin{bmatrix} 1;2 \end{bmatrix}$

cm. $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

Bài 3:

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$. Ta có:

ĐPCM$\Leftrightarrow \left ( a+ b+ c \right )\left ( ab+ bc+ ca \right )- 10abc\leq 0\Leftrightarrow \left ( a+ c \right )\left ( b- a \right )\left ( b- c \right )+ b\left ( 2a- c \right )\left ( a- 2c \right )\leq 0$ (đúng)