Ngày thi 21/01/2018
Thời gian 90 phút
Câu 1: Với giá trị $x \in \mathbb{R}$ nào thì giới hạn $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{n} \left ( 1+ x^{3^k} + x^{2.3^k} \right )$ tồn tại hữu hạn?
Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[1; + \infty)$ thoả mãn các điều kiện sau:
i) $f(1)=a>0$
ii) $f(x+1)=2001(f(x))^2 + f(x), \ \forall x \in [1; + \infty)$
Tìm $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left [ \dfrac{f(1)}{f(2)} + \dfrac{f(2)}{f(3)} + ... + \dfrac{f(n)}{f(n+1)} \right ]$
Câu 3: Cho hàm $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0; + \infty)$, có đạo hàm liên tục trên $(0; + \infty)$ và thoả mãn $f(0)=1; \ \left | f(x) \right | \leq e^{-x}, \forall x \geq 0$. Chứng minh rằng, tồn tại $x_0 > 0$ để $f'\left ( x_0 \right ) = -e^{-x_0}$
Câu 4: Một chất điểm xuất phát từ trạng thái đứng yên, chuyển động trên đường thẳng với gia tốc giảm dần. Khi đi được quãng đường $d$ nó đạt vận tốc $v$. Tìm thời gian chuyển động cực đại.
Câu 5: Cho $f(x)$ khả vi liên tục trên $[0;1]$; $f(0)=0; \ f(1)=1$. Chứng minh rằng với mọi $k_1,k_2>0$, $\exists x_1,x_2: \ 0 \leq x_1 \leq x_2 \leq 1$ sao cho $\displaystyle \dfrac{k_1}{f'\left ( x_1 \right )} + \dfrac{k_2}{f'\left ( x_2 \right )} = k_1 + k_2$.
Câu 6: Cho $f(x)$ khả vi trên $(a,b)$; $f(a)=0$ và tồn tại $A \geq 0; \ \alpha \geq 1$ sao cho $\left | f'(x) \right | \leq A \left | f(x) \right |^{\alpha}, \ \forall x \in [a,b]$. Chứng minh rằng $f(x) \equiv 0$ trên $[a,b]$.
Câu 7: Cho đa thức $P(x)$ thoả mãn điều kiện $P(a) = P(b) = 0$ với $a<b$. Đặt $\displaystyle M = \max_{a \leq x \leq b} \left | P''(x) \right |$. Chứng minh rằng $\displaystyle \left |\int_{a}^{b} P(x) dx \right | \leq \dfrac{1}{12}M(b-a)^3$.
Câu 8: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;2]$, có đạo hàm trên $(0;2)$ và thoả mãn $f(0)=f(2)=1, \ \left | f'(x) \right | \leq 1, \ \forall x \in [0;2]$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx >1$.
Câu 9: Xét đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(0) = P(1) = 0; \ \displaystyle \int_{0}^{1} \left | P(x) \right | dx = 1$. Chứng minh rằng $\left | P(x) \right | \leq \dfrac{1}{2}, \ \forall x \in [0;1]$.
Câu 10: Cho $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$ thoả $f(1)-f(0)=1$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx \geq 1$.
- HẾT -
File gửi kèm
-
26815564_967513883400258_6199300050694360801_n.jpg 69.22K
0 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 21-01-2018 - 15:16
