Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Cho hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị thực, cho trước số nguyên $a$. Biết:

$f(a)=f(1995)$

$f(a+1)=f(1996)$

$f(a+2)=f(1997)$

$f(n+a)=\frac{f(n)-1}{f(n)+1}\,\forall n$

(i) Chứng minh $f(n+4a)=f(n)\,\forall n$

(ii) Tìm số $a$ nhỏ nhất.

[namcpnh]

(i) Ta có:

$f(n+2a)=\frac{f(n+a)-1}{f(n+a)+1}=\displaystyle\frac{\frac{f(n)-1}{f(n)+1}-1}{\frac{f(n)-1}{f(n)+1}+1}=\frac{-1}{f(n)}$

$\Rightarrow f(n+4a)=-\frac{1}{f(n+2a)}=f(n)$

(ii) Ta xét các trường hợp sau:

Nếu $a=1\Rightarrow f(n+4)=f(n)$

Do 1995 chia 4 dư 3 nên $f(1)=f(1995)=f(3)=-\frac{1}{f(1)}\Rightarrow f(1)^2=-1$, vô lý

Nếu $a=2\Rightarrow f(n+8)=f(n)$

Có 1996 chia 8 dư 4 nên: $f(2)=f(1996)=f(4)$

$\Rightarrow f(2)=-\frac{1}{f(2)}$, vô lý.

$\Rightarrow a\geq 3$, với $a=3$, chọn $f(1)=f(2)=f(3)=2$, ta thấy thỏa mãn để bài.

Vậy $a_{min}=3$