Chủ đề này có 5 trả lời

[namcpnh]

Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn:

$$f(x+f(y))=f(x)-y\,\forall x,\,y$$

[ducthai2133]

Giả sử hàm f thỏa mãn đề bài
Giả sử tồn tại $y_{1},y_{2}$ để $f(y_{1})=f(y_{2}) -> f(x-f(y_{1}))=f(x-f(y_{2})) -> f(x)-y_{1}=f(x)-y_{2} -> y_{1}=y_{2}$
​Do đó f đơn ánh

Thay y bởi 0 ta có: $f(x+f(0))=f(x) -> f(0)=0$
​Thay x bởi 0 ta có: $f(f(y))=-y$

từ đây $=> f(x+f(y))=f(x)+f(f(y)) -> f(x+y)=f(x)+f(y)$

(bài toán quen thuộc) nên có f(x)=ax với a là hằng số
$=> a(ay+x)=ax-y -> a^{2}=-1$ (vô lý)
​vậy k tồn tại hàm số f 

[YoLo]

từ đây $=> f(x+f(y))=f(x)+f(f(y)) -> f(x+y)=f(x)+f(y)$
 

phải cm đc f là toàn ánh mới có thể thay f(y) bởi y được

[namcpnh]

D

 

Giả sử hàm f thỏa mãn đề bài
Giả sử tồn tại $y_{1},y_{2}$ để $f(y_{1})=f(y_{2}) -> f(x-f(y_{1}))=f(x-f(y_{2})) -> f(x)-y_{1}=f(x)-y_{2} -> y_{1}=y_{2}$
​Do đó f đơn ánh

Thay y bởi 0 ta có: $f(x+f(0))=f(x) -> f(0)=0$
​Thay x bởi 0 ta có: $f(f(y))=-y$

từ đây $=> f(x+f(y))=f(x)+f(f(y)) -> f(x+y)=f(x)+f(y)$

(bài toán quen thuộc) nên có f(x)=ax với a là hằng số
$=> a(ay+x)=ax-y -> a^{2}=-1$ (vô lý)
​vậy k tồn tại hàm số f 

Đúng rồi

[namcpnh]

phải cm đc f là toàn ánh mới có thể thay f(y) bởi y được

 

Thế $x=0$ là có toàn ánh rồi nha

[hoang9antt]

Gsu ton tai pth TMYC

P(-f(y),y): f(0)+y=f(-f(y))

khi y chạy trên Z thì f(0)+y = f(-f(y)) cx chạy trên Z

suy ra f toàn anh,nên tồn tại z/f(z)=0

P(x,z): f(x+f(z))=f(x)=f(x)+z nên z=0

suy ra f(0)=0

f(0,y);f(f(y))=-y

thay vào pth ở đề bài có: f(x+f(y))=f(x)+ff(y)

suy ra f(x)=c.x(pth cosy), thử lại suy ra mâu thuẫn

Vậy ko tồn tại pth THYC