Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.
Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.
Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.
Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$
Từ đk suy ra $b=\frac{c+a}{1-ca}$.
Ta có $1+b^2=1+(\frac{c+a}{1-ca})^2=\frac{(1-ca)^2+(c+a)^2}{(1-ca)^2}=\frac{(c^2+1)(a^2+1)}{(1-ca)^2}$.
Do đó $P=\frac{2(1+c^2)-2(1-ca)^2+3(1+a^2)}{(c^2+1)(a^2+1)}=\frac{3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca}{(c^2+1)(a^2+1)}$
Ta sẽ chứng minh $P \leq \frac{10}{3}$ hay $3(3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca) \leq 10(c^2+1)(a^2+1)$.
BĐT tương đương với $12ca \leq 16c^2a^2+4c^2+a^2+1$, hay $(2c-a)^2+(4ca-1)^2 \geq 0$.
BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=2c$ và $ca=\frac{1}{4}$, hay $a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\sqrt{2},c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P= 2(b+c-a) + 9abc$ biết $a^2+b^2+c^2=1$Bắt đầu bởi Pray for The First, 25-08-2022 max |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $ P=\frac{a}{4-a b}+\frac{b}{4-b c}+\frac{c}{4-c a}$Bắt đầu bởi NAT, 10-06-2022 gtln, gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm max $x^2+y^2$Bắt đầu bởi tinhyeutoanhoc2k7, 09-04-2021 max |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a, b>0 thỏa mãn a+b>=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:Bắt đầu bởi Gaconganhteam, 14-05-2019 bđt, cực trị, a+b=2, gtln |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Tìm GTLN của hàm sốBắt đầu bởi mathidioter, 24-01-2019 gtln |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh