Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

gtln max

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

Từ đk suy ra $b=\frac{c+a}{1-ca}$. 

Ta có $1+b^2=1+(\frac{c+a}{1-ca})^2=\frac{(1-ca)^2+(c+a)^2}{(1-ca)^2}=\frac{(c^2+1)(a^2+1)}{(1-ca)^2}$.

Do đó $P=\frac{2(1+c^2)-2(1-ca)^2+3(1+a^2)}{(c^2+1)(a^2+1)}=\frac{3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca}{(c^2+1)(a^2+1)}$

Ta sẽ chứng minh $P \leq \frac{10}{3}$ hay $3(3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca) \leq 10(c^2+1)(a^2+1)$.

BĐT tương đương với $12ca \leq 16c^2a^2+4c^2+a^2+1$, hay $(2c-a)^2+(4ca-1)^2 \geq 0$.

BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=2c$ và $ca=\frac{1}{4}$, hay $a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\sqrt{2},c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: gtln, max

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh