Đến nội dung

Hình ảnh

$f(a^n)=nf(a)\,\forall n$ khi và chỉ khi $f(a^2)=2f(a)$

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn: với mọi số nguyên $a$, $b$ khác 0 thì $f(ab)\geq f(a)+f(b)$.

Chứng minh với mọi số nguyên $a$ khác 0, ta luôn có $f(a^n)=nf(a)\,\forall n$ khi và chỉ khi $f(a^2)=2f(a)$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Giả sử hàm số $f$ thoả mãn đề bài và $f(x^2)=2f(x)$ với mọi số nguyên $x\Rightarrow f(x)$ là hàm số chẵn, do đó ta chỉ cần xét $x>0$

Như vậy $f(x^n)\geq f(x^{n-1})+f(x)\geq f(x^{n-2})+2f(x)\geq ...\geq nf(x)\,\forall n\geq 0$
Cũng có: $f(x^{2^k})=2f(x^{2^{k-1}})=...=2^kf(x)\,\forall k\geq 0$
Đặt $n=2^tq$, khi đó $f(x^n)=f((x^q)^{2^t})=2^tf(q)$
Đặt $q=2^m-c$ với $c>0$, khi đó $2^mf(x)=f(x^{2^m})\geq f(x^q)+f(x^c)\geq qf(x)+cf(x)=(q+c)f(x)=2^mf(x)$
Do đó mọi dấu bằng đều xảy ra hay $f(x^n)=nf(x)$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh