Chủ đề này có 2 trả lời

[daotuanminh]

Tìm a,b nguyên để 

$\lim_{x \to +\infty }{\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b} = 0$

[trambau]

Tìm a,b nguyên để 

$\lim$

Nhìn bài này tớ liên tưởng tới bài $lim_{x \to +\infty }{\sqrt{x^{2}+x+1}-x} = lim_{x \to +\infty }{\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+x}}=\frac{1}{2}$

Dùng cái đó suy ra được $a=1$ $b=\frac{1}{2}$ Đó là dùng trắc nghiệm, nếu tự luận xin mọi người cho ý kiến

[An Infinitesimal]

Tìm a,b nguyên để 

$\lim_{x \to +\infty }{\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b} = 0$

 

Lời giải 1:

 

 

Ta có $\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b = \frac{(1-a^2)x^2+(1-2ab)x+1-b^2}{{\sqrt{x^{2}+x+1}+ax+b}}=\frac{(1-a^2)x+(1-2ab)+\frac{1-b^2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+a+\frac{b}{x}}.$

 

Vì $\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b \right)=0$ và $\lim_{x\to+\infty} \left({\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+a+\frac{b}{x}} \right)=a+1\in \mathbb{R}$ nên 

$$ \lim_{x\to+ \infty}(1-a^2)x+(1-2ab)+\frac{1-b^2}{x}=0 \iff 1-a^2=0.$$

 

TH1: $a=-1$. Ta dễ thấy $\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b \right)=+\infty.$

 

TH2: $a=1$.

Ta có 

$0=\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b \right)= \frac{1-2ab}{a+1}=\frac{1-2b}{2}.$

Do đó $b=\frac{1}{2}.$

 

Sau khi kiểm tra lại, ta có kết luận: tất cả các bộ số $(a,b)$ cần tìm là $(1,\frac{1}{2})$.

 

Lời giải 2:

Vì $\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b \right)=0$ nên 

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b}{x}=0$$

$$\iff a=1.$$

 

Với $a=1$, ta có $0=\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-ax-b \right)= \frac{1-2b}{2}.$

Do đó $b=\frac{1}{2}.$

 

Sau khi kiểm tra lại, ta có kết luận: tất cả các bộ số $(a,b)$ cần tìm là $(1,\frac{1}{2})$.

 

Như vậy, không tồn tại bộ số nguyên thỏa đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 07-02-2018 - 11:30