Chủ đề này có 3 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$ ~ Toán quốc tế 1983

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$ ~ Toán quốc tế 1983

Do $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nên tồn tại các số dương $x, y, z$ sao cho: $a=y+z, b=z+x, c=x+y.$ Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}\geq xyz(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq x+y+z\Leftrightarrow \frac{(x-y)^{2}}{y}+\frac{(y-z)^{2}}{z}+\frac{(z-x)^{2}}{x}\geq 0.$Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.

[DOTOANNANG]

My solution: \[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0\]

\[\Leftrightarrow ca\left \{ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right ) \right \}+ \left ( b- c \right )\left ( a- b \right )\left ( a^{2}- bc \right )\geq 0\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 09-02-2018 - 18:22

[KietLW9]

Giả sử a=max{a,b,c}

Khi đó $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)=a(b+c-a)(b-c)^2+b(a-b)(a-c)(a+b-c)\geqslant 0$