Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:

$f(n)<f(n+1)\,\forall n$

$f(2)=2$

$f(mn)=f(m)f(n)\,\forall m,n$

[namcpnh]

Giả sử hàm số $f$ thoả mãn đề bài.

Có: $f(1)<f(2)=2\rightarrow f(1)=1$

$2=f(2)<f(3)<f(4)=f(2)f(2)=4$

$\Rightarrow f(3)=3$

Giả sử $f(n)=n$ với mọi số tự nhiên $n\leq m$. Cần chứng minh $f(m+1)=m+1$

Nếu $m+1$ chẵn: $f(m+1)=f(\frac{m+1}{2})f(2)=\frac{m+1}{2}.2=m+1$

Nếu $m+1$ lẻ$\Rightarrow m+2$ chẵn, do đó $f(m+2)=f(\frac{m+2}{2})f(2)=\frac{m+2}{2}.2=m+2$

Lại có: $m=f(m)<f(m+1)<f(m+2)=m+2\Rightarrow f(m+1)=m+1$

Vậy $f(n)=n$