Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số $y=x^2\sqrt{x^2+1}$, trục $Ox$ và đường thẳng $x=1$ bằng $\frac{a\sqrt{b}-\ln\left(1+\sqrt{b}\right)}{c} (a,b,c\in\mathbb{N})$. Khi đó giá trị của $a+b+c$ là
$\int_0^1x^2\sqrt{x^2+1}dx$
#1
Đã gửi 11-02-2018 - 17:24
#2
Đã gửi 18-03-2018 - 21:29
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số $y=x^2\sqrt{x^2+1}$, trục $Ox$ và đường thẳng $x=1$ bằng $\frac{a\sqrt{b}-\ln\left(1+\sqrt{b}\right)}{c} (a,b,c\in\mathbb{N})$. Khi đó giá trị của $a+b+c$ là
$S=\int _0^1x^2\sqrt{x^2+1}\ dx$
Đặt $x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}=\frac{e^{2t}-1}{2e^t}\Rightarrow e^{2t}-2xe^t-1=0\Rightarrow e^t=\sqrt{x^2+1}+x\Rightarrow t=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$
$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}}=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$
$dx=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\ dt$
$S=\int _0^{\ln(1+\sqrt2)}\left [ \frac{(e^t-e^{-t})^2}{4}.\frac{(e^t+e^{-t})^2}{4} \right ]\ dt=\frac{1}{16}\int _0^{\ln(1+\sqrt2)}(e^{2t}-e^{-2t})^2dt$
$=\frac{1}{16}\int _0^{\ln(1+\sqrt2)}(e^{4t}+e^{-4t}-2)dt=\frac{e^{4t}-e^{-4t}-8t}{64}\Bigg|_0^{\ln(1+\sqrt2)}=\frac{3\sqrt2-\ln(1+\sqrt2)}{8}$
$\Rightarrow a=3$ ; $b=2$ ; $c=8$ và $a+b+c=13$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 28-03-2018 - 16:31
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số $y=x^2\sqrt{x^2+1}$, trục $Ox$ và đường thẳng $x=1$ bằng $\frac{a\sqrt{b}-\ln\left(1+\sqrt{b}\right)}{c} (a,b,c\in\mathbb{N})$. Khi đó giá trị của $a+b+c$ là
* Cách khác:
$S=\int _0^1x^2\sqrt{x^2+1}\ dx$
Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x\sqrt{{{x}^{2}}+1} & \\ dv=xdx & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx & \\ v=\frac{2{{x}^{2}}+1}{4} & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NAT: 28-03-2018 - 16:32
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh