Tìm số nguyên tố p, q sao cho $p^{q-1}+q^{p-1}$ là một số chính phương
~SIMON MARAIS MATHEMATICS COMPETITION 2017~
Tìm số nguyên tố p, q sao cho $p^{q-1}+q^{p-1}$ là một số chính phương
~SIMON MARAIS MATHEMATICS COMPETITION 2017~
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Mình làm thế này không biết có đúng không:
+) Xét $\left\{\begin{matrix}p=2m+1 \\ q=2n+1 \end{matrix}\right. (m,n\epsilon N*)$
Đặt $p^{q-1}+q^{p-1}=a^{2}(a\epsilon N)$
$=>(2m+1)^{2n}+(2n+1)^{2m}=a^{2}(**)$
$=>(2m+1)^{2n}=\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]$
Goi $d=(a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}) =>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix}2a\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right.$
Do $(2m+1)^{2n}$ lẻ nen $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ le.
=> $(2,d)=1=>a\vdots d=>(2n+1)^{m}\vdots d=>\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]\vdots d^{2}=>(2m+1)^{2n}\vdots d^{2}=>(2m+1)^{n}\vdots d$
$=>\left\{\begin{matrix}(2m+1)^{n}\vdots d \\ (2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}q^{m}\vdots d \\ p^{n}\vdots d \end{matrix}\right. =>d=1 (1)$
=> $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ la SCP $(2)$
Do $2m+1$ la SNT nen $U((2m+1)^{2n})\epsilon \left. 1,2m+1,(2m+1)^{2},...(2m+1)^{2n} \right \}$
Kết hợp với (1) và (2) $=>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}=1(*) \\ a+(2n+1)^{m}=(2m+1)^{2n} \end{matrix}\right.$
$(*)=>a-q^{m}=1$
Tương tự $a-p^{n}=1=>q^{m}=p^{n}=>q^{2m}=p^{2n}$ thay vao (**)
$=>2q^{2m}$ la SCP (vo ly)
+) Xét chỉ tồn tại một số chẵn trong p,q. Không mất tính tổng quát giả sử $q=2$
=> $p+2^{p-1}=a^{2}=>p+2^{2m}=a^{2}=>p=(a-2^{m})(a+2^{m})=>\left\{\begin{matrix}a-2^{m}=1 \\ a+2^{m}=p \end{matrix}\right. =>2.2^{m}+1=p=>2.2^{m}+1=2m+1(=p)=> m=2^{m}$ (cái này vô nghiệm VT<VP)
CM: +) Với $m=1$ $=>1<2$ (t/m)
+) Giả sử mệnh đề đúng với $m=k\epsilon N^{*}$ $=>k< 2^{k}$
+) Xét $p=q=2$ (t/m)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 14-02-2018 - 08:32
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
Mình làm thế này không biết có đúng không:
+) Xét $\left\{\begin{matrix}p=2m+1 \\ q=2n+1 \end{matrix}\right. (m,n\epsilon N*)$
Đặt $p^{q-1}+q^{p-1}=a^{2}(a\epsilon N)$
$=>(2m+1)^{2n}+(2n+1)^{2m}=a^{2}(**)$
$=>(2m+1)^{2n}=\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]$
Goi $d=(a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}) =>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix}2a\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right.$
Do $(2m+1)^{2n}$ lẻ nen $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ le.
=> $(2,d)=1=>a\vdots d=>(2n+1)^{m}\vdots d=>\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]\vdots d^{2}=>(2m+1)^{2n}\vdots d^{2}=>(2m+1)^{n}\vdots d$
$=>\left\{\begin{matrix}(2m+1)^{n}\vdots d \\ (2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}q^{m}\vdots d \\ p^{n}\vdots d \end{matrix}\right. =>d=1 (1)$
=> $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ la SCP $(2)$
Do $2m+1$ la SNT nen $U((2m+1)^{2n})\epsilon \left. 1,2m+1,(2m+1)^{2},...(2m+1)^{2n} \right \}$
Kết hợp với (1) và (2) $=>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}=1(*) \\ a+(2n+1)^{m}=(2m+1)^{2n} \end{matrix}\right.$
$(*)=>a-q^{m}=1$
Tương tự $a-p^{n}=1=>q^{m}=p^{n}=>q^{2m}=p^{2n}$ thay vao (**)
$=>2q^{2m}$ la SCP (vo ly)
+) Xét chỉ tồn tại một số chẵn trong p,q. Không mất tính tổng quát giả sử $q=2$
=> $p+2^{p-1}=a^{2}=>p+2^{2m}=a^{2}=>p=(a-2^{m})(a+2^{m})=>\left\{\begin{matrix}a-2^{m}=1 \\ a+2^{m}=p \end{matrix}\right. =>2.2^{m}+1=p=>2.2^{m}+1=2m+1(=p)=> m=2^{m}$ (cái này vô nghiệm VT<VP)
CM: +) Với $m=1$ $=>1<2$ (t/m)
+) Giả sử mệnh đề đúng với $m=k\epsilon N^{*}$ $=>k< 2^{k}$
+) Xét $p=q=2$ (t/m)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 10-03-2018 - 12:33
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh