Chủ đề này có 8 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho dãy (U_n): $$\left\{\begin{matrix} U_{1}=2018 & \\ U_{n+1}=U_{n}^{2} & \end{matrix}\right.$$

Tính giới hạn của: $$\sum_{k=1}^{n}\frac{U_{k}}{U_{k+1}-1}$$

[libach80]

Cho dãy (U_n): $$\left\{\begin{matrix} U_{1}=2018 & \\ U_{n+1}=U_{n}^{2} & \end{matrix}\right.$$

Tính giới hạn của: $$\sum_{k=1}^{n}\frac{U_{k}}{U_{k+1}-1}$$

Ta có $\frac{u_k}{u_{k+1}-1}=\frac{1}{u_{k+1}-1}-\frac{1}{u_{k}-1}$

[hoangkimca2k2]

bị ngược dấu rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 14-02-2018 - 23:27

[Duy Thai2002]

Ta có $\frac{u_k}{u_{k+1}-1}=\frac{1}{u_{k+1}-1}-\frac{1}{u_{k}-1}$

Phải là $\frac{U_{k}}{U_{k+1}-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{U_{k}-1}+\frac{1}{U_{k}+1})$

[Duy Thai2002]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 15-02-2018 - 11:16

[TrucCumgarDaklak]

Giả sử dãy $(U_{n})$ có giới hạn hữu hạn là L $(L\geq 2018)$

Chuyển qua giới hạn, ta có:

$L=L^{2}$ $<=> \begin{bmatrix} L=0(l) & \\L=1(l) & \end{bmatrix}$

$=>$ Dãy có giới hạn vô cực

Dễ dàng chứng minh dãy trên là dãy tăng ( Bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp) và $U_{n}>0$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Ta có:

$\frac{U_{k}}{U_{k+1}-1}=\frac{U_{k}}{U_{k}^{2}-1}=\frac{U_{k}}{(U_{k}-1)(U_{k}+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{U_{k}+1}+\frac{1}{U_{k}-1})$

Đến đây ta sử dụng tính chất sau:

$q>0, q<1$ thì $lim q=0$

Ta thấy:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{U_{k}+1}+\frac{1}{U_{k}-1})\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{U_{1}+1}+\frac{1}{U_{1}-1})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2017})< 1$

Do đó theo tính chất trên ta được:

$lim\frac{U_{k}}{U_{k+1}-1}=0$

$=> lim\sum_{k=1}^{n}\frac{U_{k}}{U_{k+1}-1}=0$

có vẻ không chính xác

[Duy Thai2002]

Chỗ nào vậy anh

[TrucCumgarDaklak]

$u_{n+1}-1=u_{n}^{2}-1\Leftrightarrow u_{n+1}-1=\left ( u_{n}+1 \right )\left ( u_{n}-1 \right )\Leftrightarrow \frac{u_{n}+1}{u_{n+1}-1}=\frac{1}{u_{n}-1}\Leftrightarrow \frac{u_{n}}{u_{n+1}-1}=\frac{1}{u_{n}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}$

$\Rightarrow lim\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}=lim\left ( \frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1} \right )$

Dễ dàng chứng minh được $limu_{n}=+\infty \Rightarrow lim\frac{1}{u_{n+1}-1}=0$

$\Rightarrow lim\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}=lim\left ( \frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1} \right )=\frac{1}{u_{1}-1}=\frac{1}{2017}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 15-02-2018 - 11:09

[TrucCumgarDaklak]

Chỗ nào vậy anh

Mình thấy lim=0 thì hơi...