Chủ đề này có 3 trả lời

[meomunsociu]

 Chứng minh dãy $(un)$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{5}{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+\frac{20n+21}{n+1}},\forall n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

 

[Duy Thai2002]

Trước hết ta sẽ chứng minh  $u_{n}>2$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Với n=1, ta có: $u_{1}=\frac{5}{2}>2$ nên mệnh đề đúng với n=1

Giả sử $u_{n}>2$ Ta cần chứng minh $u_{n+1}>2$. Thật vậy, vì $u_{n}>2$ nên $u_{n}^{3}-12u_{n}+20> 0$

$=> u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+\frac{20n+21}{n+1}}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+20+\frac{1}{n+1}}> \sqrt{20}> 2$

$=> u_{n}>2$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$(1)

Kế tiếp ta sẽ chứng minh  dãy $(u_{n})$ giảm hay $u_{n+1}\leq u_{n}$

Với n=1, ta có: $u_{2}=\frac{7\sqrt{2}}{4}\leq \frac{5}{2}=u_{1}$ nên mệnh đề đúng với n=1

Giả sử $u_{n+1}\leq u_{n}$ $=> u_{n+1}\leq \frac{5}{2}$

Ta cần chứng minh $u_{n+2}\leq u_{n+1}$. Thật vậy, ta có:

$u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}^{3}-12u_{n+1}+\frac{20(n+1)+21}{n+2}}=\sqrt{u_{n+1}^{3}-12u_{n+1}+20+\frac{1}{n+2}}\leq u_{n+1}$

$<=> u_{n+1}^{3}-u_{n+1}^2-12u_{n+1}+20+\frac{1}{n+2}\leq 0$

Mà  $u_{n+1}^{3}-u_{n+1}^{2}-12u_{n+1}+20\leq -1$ $\forall u_{n+1}\in (2;\frac{5}{2}]$, $\frac{1}{n+2}<1$

$=> u_{n+1}^{3}-u_{n+1}^2-12u_{n+1}+20+\frac{1}{n+2}\leq 0$

$=>$ $u_{n+2}\leq u_{n+1}$ do đó theo nguyên lí quy nạp, ta được dãy $(u_{n})$ giảm (2)

$(1),(2)\Rightarrow$ Dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn

Ta viết lại:  $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+20+\frac{1}{n+1}}$. 

Gọi giới hạn của dãy là $a$ $ (2\leq a\leq \frac{5}{2})$. Chuyển qua giới hạn, ta được:

$a=\sqrt{a^{3}-12a+20}$. Giải pt trên kết hợp với điều kiện ta ra được $a=2$(nhận)

Vậy $limu_{n}=2$

 

 

 

 

[An Infinitesimal]

 Chứng minh dãy $(un)$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{5}{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+\frac{20n+21}{n+1}},\forall n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Một lời giải nhằm quảng bá cho bổ đề giới hạn.

 

Bài toán có thể giải quyết thông qua các nhận xét sau:

1) Dễ thấy $u_n\ge 0 \forall n\in \mathbb{N},$

 

2) Hệ thức truy hồi được viết lại:

 

\[u_{n+1}^2-4= u_{n}^{3}-12u_{n}+16+\frac{1}{n+1}, \forall n\in \mathbb{N}.\]

 

Do đó,

$$\left( u_{n+1}-2\right)\left( u_{n+1}+2\right)= \left( u_{n}+4\right)\left( u_{n}-2\right)^2+\frac{1}{n+1}, \forall n\in \mathbb{N}.$$

 

3) Từ 1) và 2), ta có $u_n\ge 2 , \forall n\in \mathbb{N}.$ Hơn nữa, ta cũng có đánh giá $u_n\le \frac{5}{2}, \forall n\in \mathbb{N}.$

 

4) Suy ra $u_{n+1}-2= \frac{\left( u_{n}+4\right)\left( u_{n}-2\right)}{ u_{n+1}+2}\left( u_{n}-2\right)+\frac{1}{(n+1)\left( u_{n+1}+2\right)}, n\in \mathbb{N}.$

Hơn nữa, 

$$0< \frac{\left( u_{n}+4\right)\left( u_{n}-2\right)}{ u_{n+1}+2}\le \frac{(2+4)\left( \frac{5}{2}-2\right)}{2+2}=\frac{3}{4}, .$$

 

Do đó, 

$$\left|u_{n+1}-2\right|\le \frac{3}{4}\left|u_{n}-2\right|+\frac{1}{4n+4}, n\ge 1.$$

 

Áp dụng bổ đề giới hạn ta nhận được $\lim u_n=2.$

 

https://diendantoanh...ãy-số-giới-hạn/

 

 

Cho số thực $q\in (0, 1).$ Xét hai dãy không âm $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ và $\lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$ Chứng minh rằng $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0.$

 

 

 

[An Infinitesimal]

 

Trước hết ta sẽ chứng minh  $u_{n}>2$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

 

Với n=1, ta có: $u_{1}=\frac{5}{2}>2$ nên mệnh đề đúng với n=1

 

Giả sử $u_{n}>2$ Ta cần chứng minh $u_{n+1}>2$. Thật vậy, vì $u_{n}>2$ nên $u_{n}^{3}-12u_{n}+20> 0$

 

$=> u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+\frac{20n+21}{n+1}}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+20+\frac{1}{n+1}}> \sqrt{20}> 2$

 

 

 

 

 

Em cần xem xét lại chứng minh này!