Đến nội dung


Hình ảnh

$\pi_{q}(O(m)) \cong \pi_{q}(O(n))$

orthogonal group homotopy group

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 16-02-2018 - 02:06

Chúc mừng năm mới diễn đàn. 

Mở màn năm mới bằng một bài, sử dụng phân thớ tầm thường địa phương. 

Gọi $O(n)$ là nhóm các ma trận trực giao cấp $n$ trên trường $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

$$\pi_{q}(O(m)) \cong \pi_{q}(O(n)) \forall q + 2 < m , n$$
Trong đó $\pi_{q}$ là nhóm đồng luân thứ $q$, và topo trên $O(n)$ xem như topo con của $R^{n^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-02-2018 - 02:19

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 17-02-2018 - 22:35

Xét nhóm $O(n)$ và ánh xạ:

 

$$p : O(n) \to S^{n-1}$$

 

$$A \mapsto A(0,..,0,1)$$

 

Gọi $U = S^{n} - (0,...,1), V = S^{n}-(0,...,-1)$ là phủ mở của $S^{n}$ và định nghĩa:

 

$$\phi_{U} : U \times O(n-1) \to p^{-1}(U)$$

 

$$(u,A) \mapsto -\alpha(-u) \begin{pmatrix}A & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$$

 

 

Tương tự:

 

$$\phi_{V}: V \times O(n-1) \to p^{-1}(V)$$

 

$$(v,A) \mapsto \alpha(v)\begin{pmatrix}A & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$

 

Ở đây $\alpha : V \to O(n), x \mapsto \alpha(x)$ là phép quay dọc theo đường tròn đi qua tâm của $S^{n}$ và đi qua $(0,...,1)$ với $x$ đồng thời, tức là $\alpha$ chuyển vị trí hai điểm này cho nhau. Cụ thể hơn đặt $\alpha(x) = R(x,e_{n})$

 

Với

 

$$R(b,a)x = x - \frac{((a+b | x)}{1 + (a|b)} (a + b) + 2(a | x )b$$

 

Là phép quay theo đường tròn lớn từ $a$ đến $b$

 

Dễ kiểm tra với hệ phủ này và các ánh xạ $\phi$ thì $p$ là một phân thớ địa phương tầm thường với fiber là $O(n-1)$

 

$$O(n-1) \to O(n) \overset{p}{\rightarrow} S^{n-1}$$

 

Phân thớ địa phương tầm thường là một weak fibration nên sử dụng dãy khớp của weak fibration ta có $\pi_{q}(O(n)) \cong \pi_{q}(O(n-1)) \forall n > q + 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-02-2018 - 15:13

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 chel92

chel92

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 27-06-2019 - 19:02

Cho mình hỏi kí hiệu O(...) có bao nhiêu ý nghĩa vậy? Tại mình đang đọc tài liệu có kí hiệu O(ε) mà mình không hiểu nó có ý nghĩa gì.

Xin lỗi vì câu hỏi của mình không liên quan lắm đến bài viết!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh