Đến nội dung

Hình ảnh

$\pi_{q}(O(m)) \cong \pi_{q}(O(n))$

orthogonal group homotopy group

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1627 Bài viết

Chúc mừng năm mới diễn đàn. 

Mở màn năm mới bằng một bài, sử dụng phân thớ tầm thường địa phương. 

Gọi $O(n)$ là nhóm các ma trận trực giao cấp $n$ trên trường $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

$$\pi_{q}(O(m)) \cong \pi_{q}(O(n)) \forall q + 2 < m , n$$
Trong đó $\pi_{q}$ là nhóm đồng luân thứ $q$, và topo trên $O(n)$ xem như topo con của $R^{n^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-02-2018 - 02:19

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1627 Bài viết

Xét nhóm $O(n)$ và ánh xạ:

 

$$p : O(n) \to S^{n-1}$$

 

$$A \mapsto A(0,..,0,1)$$

 

Gọi $U = S^{n} - (0,...,1), V = S^{n}-(0,...,-1)$ là phủ mở của $S^{n}$ và định nghĩa:

 

$$\phi_{U} : U \times O(n-1) \to p^{-1}(U)$$

 

$$(u,A) \mapsto -\alpha(-u) \begin{pmatrix}A & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$$

 

 

Tương tự:

 

$$\phi_{V}: V \times O(n-1) \to p^{-1}(V)$$

 

$$(v,A) \mapsto \alpha(v)\begin{pmatrix}A & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$

 

Ở đây $\alpha : V \to O(n), x \mapsto \alpha(x)$ là phép quay dọc theo đường tròn đi qua tâm của $S^{n}$ và đi qua $(0,...,1)$ với $x$ đồng thời, tức là $\alpha$ chuyển vị trí hai điểm này cho nhau. Cụ thể hơn đặt $\alpha(x) = R(x,e_{n})$

 

Với

 

$$R(b,a)x = x - \frac{((a+b | x)}{1 + (a|b)} (a + b) + 2(a | x )b$$

 

Là phép quay theo đường tròn lớn từ $a$ đến $b$

 

Dễ kiểm tra với hệ phủ này và các ánh xạ $\phi$ thì $p$ là một phân thớ địa phương tầm thường với fiber là $O(n-1)$

 

$$O(n-1) \to O(n) \overset{p}{\rightarrow} S^{n-1}$$

 

Phân thớ địa phương tầm thường là một weak fibration nên sử dụng dãy khớp của weak fibration ta có $\pi_{q}(O(n)) \cong \pi_{q}(O(n-1)) \forall n > q + 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-02-2018 - 15:13

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
chel92

chel92

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Cho mình hỏi kí hiệu O(...) có bao nhiêu ý nghĩa vậy? Tại mình đang đọc tài liệu có kí hiệu O(ε) mà mình không hiểu nó có ý nghĩa gì.

Xin lỗi vì câu hỏi của mình không liên quan lắm đến bài viết!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh