Xét nhóm $O(n)$ và ánh xạ:
$$p : O(n) \to S^{n-1}$$
$$A \mapsto A(0,..,0,1)$$
Gọi $U = S^{n} - (0,...,1), V = S^{n}-(0,...,-1)$ là phủ mở của $S^{n}$ và định nghĩa:
$$\phi_{U} : U \times O(n-1) \to p^{-1}(U)$$
$$(u,A) \mapsto -\alpha(-u) \begin{pmatrix}A & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$$
Tương tự:
$$\phi_{V}: V \times O(n-1) \to p^{-1}(V)$$
$$(v,A) \mapsto \alpha(v)\begin{pmatrix}A & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$
Ở đây $\alpha : V \to O(n), x \mapsto \alpha(x)$ là phép quay dọc theo đường tròn đi qua tâm của $S^{n}$ và đi qua $(0,...,1)$ với $x$ đồng thời, tức là $\alpha$ chuyển vị trí hai điểm này cho nhau. Cụ thể hơn đặt $\alpha(x) = R(x,e_{n})$
Với
$$R(b,a)x = x - \frac{((a+b | x)}{1 + (a|b)} (a + b) + 2(a | x )b$$
Là phép quay theo đường tròn lớn từ $a$ đến $b$
Dễ kiểm tra với hệ phủ này và các ánh xạ $\phi$ thì $p$ là một phân thớ địa phương tầm thường với fiber là $O(n-1)$
$$O(n-1) \to O(n) \overset{p}{\rightarrow} S^{n-1}$$
Phân thớ địa phương tầm thường là một weak fibration nên sử dụng dãy khớp của weak fibration ta có $\pi_{q}(O(n)) \cong \pi_{q}(O(n-1)) \forall n > q + 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-02-2018 - 15:13