Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp tâm O, bán kính R. Kí hiệu da;db;dc là khoảng cách từ O tới các cạnh BC;CA;AB. Chứng minh rằng nếu d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}=\frac{3}{4}.R^{2}. thì ABC là tam giác đều
d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}=\frac{3}{4}.R^{2}
#2
Đã gửi 19-02-2018 - 20:09
Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp tâm O, bán kính R. Kí hiệu da;db;dc là khoảng cách từ O tới các cạnh BC;CA;AB. Chứng minh rằng nếu $d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}=\frac{3}{4}.R^{2}$. thì ABC là tam giác đều
Ta gọi 3 cạnh tam giác ABC là a=BC; AC=b; AB=c.
Áp dụng Pytago ta có:
$d_{a}^2=R^2-\frac{a^2}{4}$
$d_{b}^2=R^2-\frac{b^2}{4}$
$d_{c}^2=R^2-\frac{c^2}{4}$
Suy ra $\frac{3}{4}R^2=3R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=9R^2 \Leftrightarrow sin^2A+sin^2B+sin^2C = \frac{9}{4}$
Mặt khác $sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq \frac{9}{4}$
suy ra tam giác đều
- Korosensei yêu thích
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức hình học
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Bất đẳng thức hình họcBắt đầu bởi JeongHyeon, 09-12-2018 bất đẳng thức hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
$\sqrt{S_{BQOP}}+\sqrt{S_{DSOR}}\le \sqrt{S_{ABCD}}.$Bắt đầu bởi quangminhltv99, 15-07-2017 bất đẳng thức hình học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Cho tứ giácBắt đầu bởi Korosensei, 09-11-2016 bất đẳng thức hình học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chu vi tứ giácBắt đầu bởi vda2000, 01-07-2016 bất đẳng thức hình học, tứ giác |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh là a,b,c và diện tích S. Chứng minh $ S\leq 1/16(3a^{2}+2b^{2}+2c^{2}) $Bắt đầu bởi Totoro, 09-03-2016 bất đẳng thức hình học |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh