Đến nội dung

Hình ảnh

CMR tồn tại 2 phần tử $x,y$ cùng thuộc một tập sao cho $|x-y|={a;b}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết

Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $a+b$ là số lẻ. Chia tập $\mathbb{N}^*$ thành 2 tập $A,B$ rời nhau. CMR tồn tại 2 phần tử $x,y$ cùng thuộc một tập sao cho $|x-y|=${$a;b$}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 20-02-2018 - 11:54


#2
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Giả sử ngược lại bài toán trên sai tức là không có hai phần tử $x>y$ nào cùng thuộc một tập hợp mà $x-y=a$ và $x-y=b$

Nghĩa lả nếu $x \in A$ thì $x+a,x+b \in B$ ;$x \in B $ thì $x+a, x+b \in A$

Không mất tổng quát , ta giả sử $a \in A$.Suy ra $a+b \in B \Rightarrow b \in A$

Ta có nhận xét sau : 

Với $m,n \in N$ :

.) $m+n$ lẻ thì $ma+nb \in A$

.)$m+n$ chẵn $ma+nb \in B$

Nhận xét này không khó chứng minh

Giả sử $m,n$ là hai số nguyên dương sao cho $m+n$ lẻ và $m>b$. Thì $ma+nb \in A$

Đặt $m'=m-b;n'=n+a$ thì $m'+n'=(m+n)+(a-b)$ là số chẵn (theo giả thiết). Suy ra $m'a+n'b \in B$

Mà $m'a+n'b=(m-b)a+(n+a)b=ma+nb \in A$

Kéo theo $A \cap B \ne \emptyset $ . Vô lý


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 25-06-2018 - 17:52

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh