Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $a+b$ là số lẻ. Chia tập $\mathbb{N}^*$ thành 2 tập $A,B$ rời nhau. CMR tồn tại 2 phần tử $x,y$ cùng thuộc một tập sao cho $|x-y|=${$a;b$}
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 20-02-2018 - 11:54
Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $a+b$ là số lẻ. Chia tập $\mathbb{N}^*$ thành 2 tập $A,B$ rời nhau. CMR tồn tại 2 phần tử $x,y$ cùng thuộc một tập sao cho $|x-y|=${$a;b$}
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 20-02-2018 - 11:54
Giả sử ngược lại bài toán trên sai tức là không có hai phần tử $x>y$ nào cùng thuộc một tập hợp mà $x-y=a$ và $x-y=b$
Nghĩa lả nếu $x \in A$ thì $x+a,x+b \in B$ ;$x \in B $ thì $x+a, x+b \in A$
Không mất tổng quát , ta giả sử $a \in A$.Suy ra $a+b \in B \Rightarrow b \in A$
Ta có nhận xét sau :
Với $m,n \in N$ :
.) $m+n$ lẻ thì $ma+nb \in A$
.)$m+n$ chẵn $ma+nb \in B$
Nhận xét này không khó chứng minh
Giả sử $m,n$ là hai số nguyên dương sao cho $m+n$ lẻ và $m>b$. Thì $ma+nb \in A$
Đặt $m'=m-b;n'=n+a$ thì $m'+n'=(m+n)+(a-b)$ là số chẵn (theo giả thiết). Suy ra $m'a+n'b \in B$
Mà $m'a+n'b=(m-b)a+(n+a)b=ma+nb \in A$
Kéo theo $A \cap B \ne \emptyset $ . Vô lý
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 25-06-2018 - 17:52
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh