Chủ đề này có 1 trả lời

[minhvu120201]

$\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ và nội tiếp $(O).Q$ đối xứng với $A$ qua $O.IQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $M.D$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC.H$

là chân đường cao hạ từ $A.$ Chứng minh $MD$ đi qua trung điểm $HI.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 10-03-2018 - 15:14

[Uchiha sisui]

Lời giải

 

Gọi $Z,V$ lần lượt là giao điểm của $MD$ với $AH,HI$. Ta có kết quả quen thuộc là $AD$ là tia phân giác của $\widehat{HAO}$. 

 

Suy ra $\widehat{ZAI}=\widehat{DAQ}=\widehat{DMQ}\Rightarrow$ Tứ giác $AMZI$ nội tiếp.

 

$\Rightarrow \widehat{AZI}=\widehat{AMI}=90^{0}$ $\Rightarrow ZI//BC$.

 

Gọi $L$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Ta có: 

 

$\frac{ZH}{ZA}=\frac{IL}{IA}=\frac{BL}{BA}=\frac{DL}{DB}=\frac{DB}{DA}=\frac{DI}{DA}$           (1)

 

Lại áp dụng định lý $Menelaus$ vào tam giác $AHI$ với cát tuyến $DZV$ ta có:

 

$\frac{VH}{VI}.\frac{DI}{DA}.\frac{ZA}{ZH}=1$                       (2)

 

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh!

Hình gửi kèm

•