Đến nội dung

Hình ảnh

cho $a,b,c \geq 0$. Chứng minh: $P=\sum \frac{(b+c)^2}{a^2+bc}\geq 6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

cho $a,b,c \geq  0$. Chứng minh: $P=\sum \frac{(b+c)^2}{a^2+bc}\geq 6$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$P= \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}+ \frac{(a+c)^2}{b^2+ac}+ \frac{(b+c)^2}{a^2+bc} \geq 6$$

$$\sum \frac{\left ( a+ b \right )^{2}}{c^{2}+ ab}\geq \frac{\left ( \sum \left ( a+ b \right )^{2} \right )^{2}}{\sum \left ( ab+ c^{2} \right )\left ( a+ b \right )^{2}}= \frac{4\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ ab+ bc+ ca \right )^{2}}{\sum \left ( ab+ c^{2} \right )\left ( a+ b \right )^{2}}$$

CM: $$\frac{4\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ ab+ bc+ ca \right )^{2}}{\sum \left ( ab+ c^{2} \right )\left ( a+ c \right )^{2}}\geq 6$$

$$\Rightarrow 2\left [ a^{4}+ b^{4}+ c^{4}+ abc\left ( a+ b+ c \right )- \sum ab\left ( a^{2}+ b^{2} \right ) \right ]+ 3\sum ab\left ( a- b \right )^{2}\geq 0$$

CM: $$a^{4}+ b^{4}+ c^{4}+ abc\left ( a+ b+ c \right )\geq ab\left ( a^{2} + b^{2}\right )+ bc\left ( b^{2} + c^{2}\right )+ ca\left ( c^{2} + a^{2}\right )$$

Chuẩn hóa: $$a+ b+ c= 3$$

Đặt $a= x+ 1$, $b= y+ 1$, $c= 1- x- y$, $xy\geq 0$

CM: $$4\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )^{2}+ 3\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )\geq 18xy\left ( x+ y \right )$$

$$\Rightarrow 4\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )^{2}+ 3\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )\geq 36x^{2}y^{2}+ \frac{9}{4}\left ( x+ y \right )^{2}\geq 18xy\left ( x+ y \right )$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-02-2018 - 15:41


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\boldsymbol{ \sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}=\sum \frac{(a+b)^4}{(c^2+ab)(a+b)^2} \ge \frac{(\sum (a+b)^2)^2}{\sum (c^2+ab)(a+b)^2} \ge 6 }$$



#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\boldsymbol{{\frac { \left( y+z \right) ^{2}}{{x}^{2}+yz}}+{\frac { \left( z+x \right) ^{2}}{{y}^{2}+zx}}+{\frac { \left( x+y \right) ^{2}}{{z}^{2}+ xy}}\geq 2+{\frac { \left( y+z \right) ^{2}}{{x}^{2}+2\,yz}}+{\frac { \left( z+x \right) ^{2}}{{y}^{2}+2\,zx}}+{\frac { \left( x+y \right) ^{2}}{{z}^{2}+2\,xy}}}$$

$$\boldsymbol{{\frac { \left( y+z \right) ^{2}}{{x}^{2}+2\,yz}}+{\frac { \left( z+x \right) ^{2}}{{y}^{2}+2\,zx}}+{\frac { \left( x+y \right) ^{2}}{{z}^{ 2}+2\,xy}}\geq \frac{4(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=4}$$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh