Đến nội dung


Hình ảnh

K - lý thuyết topo

k-theory topology

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry

Đã gửi 27-02-2018 - 23:49

Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod ( Eilenberg - Steenrod axioms ) và định lý cùng tên cho ta thấy hai lý thuyết đồng điều ( thỏa mãn các tiên đề này ) thì đẳng cấu với nhau ( có thể tìm tại Spanier, pp $199-205$ )

 

Chúng ta có rất nhiều lý thuyết đồng điều, như cubial, singular, simplicial, cellular. Với mỗi lý thuyết ta có thể chứng minh chúng đẳng cấu với nhau. Tuy nhiên bằng những cách khá là khó và bằng cách chỉ sử dụng các tiên đề của Eilenberg-Steenrod thì ta có thể chứng minh hai lý thuyết bất kì đẳng cấu với nhau. ( có thể mình sẽ ghi cái này một lúc nào đó )

 

Bình luận: Tiên đề về excision có thể thay bằng dãy Mayer-Vietoris. ( Spanier, p.$208$ )

 

Có một hệ tiên đề mở rộng của E-S trong phạm trù rộng hơn cho các cặp noncompact nhưng nó yêu cầu thêm một tiên đề nữa về compact support. Với tiên đề mở rộng này thì định lý E-S vẫn đúng.

 

Một lý thuyết đối đồng điều kì dị thực ra chỉ là một lý thuyết đồng điều. Nhưng nó chỉ không thỏa mãn tiên đề dimension. ( tiên đề thứ $4$ ) Một ví dụ điển hình là K - lý thuyết topo. Trong đại số hoặc hình học đại số, thì là K - lý thuyết đại số. ( Daniel Quillen ) Đây cũng là một công cụ cơ bản của đại số toán tử.

 

Quay lại một chút lịch sử, thì K - lý thuyết đầu tiên được sử dụng bởi Grothendieck để làm định lý Riemann - Roch - Grothendieck. Chữ K trong K - theory là viết tắt của Klasse trong tiếng Đức, trong tiếng Anh là class. Khi đầu Dieck làm việc với các coherent bó trên đa tạp đại số. Thay vì làm việc thẳng với các bó, thì Dieck định nghĩa một nhóm sử dụng lớp các đẳng cấu của bó như là các phần tử sinh của nhóm, đồng nhất quan hệ mở rộng của hai bó bất kì là tổng của chúng. Nhóm nhận được gọi là $K(X)$ hoặc $G(X)$ phụ thuộc vào bó mà ta làm việc. Cả hai nhóm này có thể xem như nhóm Grothendieck tương ứng với cách sử dụng đồng điều hay đối đồng điều. Về sau năm $1959$ trong topo thì Atiyah và Hirzebruch áp dụng cách xây dựng tương tự cho các phân thớ vector và nhận được nhóm $K(X)$ cho không gian topo $X$. Sử dụng định lý tuần hoàn Bott họ đã tạo ra cơ sở của lý thuyết đối đồng điều kì dị ( extraodinary cohomology theory ). Điều này cũng đóng một vai trò quan trọng trong chứng minh thứ hai của định lý chỉ số ( index theorem ). Xa hơn nữa thì điều này dẫn đến K - lý thuyết không giao hoàn của C* - đại số.

 

Theo vài khía cạnh nào đó thì K - lý thuyết dễ hơn lý thuyết đồng điều và đối đồng điều thông thường và mạnh hơn cho một vài mục đích nhất định. Một trong các ứng dụng của nó là định lý của Bott và Milnor khẳng định chỉ có bốn đại số chia thực chiều $1,2,4,8$ hoặc là định lý của Adam số cực đại các phân thớ tiếp tuyến độc lập tuyến tính trên mặt cầu số chiều bất kì, định lý này sử dụng K - lý thuyết dễ dàng hơn lý thuyết đối đồng điều rất nhiều.

 

Để học K - lý thuyết thì theo mình biết chỉ cần đại số tuyến tính, topo đại cương, đại số trừu tượng, một ít giải tích phức. Dĩ nhiên nếu biết đối đồng điều hoặc topo đại số thì sẽ rất tốt. Học xong K - lý thuyết sẽ biết các stable J-homomorphism để tấn công vào stable homotopy, có thể học tiếp characteristic class , dãy phổ sau đó học sâu hơn về stable homotopy và các lý thuyết đồng điều mở rộng.

 

Tham khảo thêm tại đây

 

Vậy có khi mình làm vài bài ở đây tiếp về K - lý thuyết :D, coi như note lại sau này và ôn luôn.


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry

Đã gửi 15-03-2018 - 00:18

Trong mấy bài trước, mình có viết về phân thớ vector, nhưng chưa giới thiệu phân thớ là gì. Đây là một cách giải thích nôm na của nó.

 

TangentSpaceToSphere.png

 

Để motive phân thớ vector, chúng ta xét mặt cầu $S^{2}$ và các vector tiếp tuyến trên mặt của nó trong $\mathbb{R^{3}}$. Tại mỗi điểm $x \in S^{2}$ rõ ràng tồn tại duy nhất một mặt phẳng tiếp tuyến $P_{x}$. Nếu ta coi trong $P_{x}$ điểm $x$ như vector $0_{x}$ thì $P_{x}$ lập thành một không gian vector. Mỗi vector $v_{x} \in P_{x}$ đồng nhất với điểm cuối của nó ( điểm đầu là $x$ ). Nếu coi mỗi vector $v_{x} \in P_{x}$ như một vector trong $\mathbb{R^{3}}$ thì ta có thể đồng nhất nó với duy nhất một vector $\tau(v_{x}) = v_{x}$ nhưng có điểm đầu là tâm của $S^{2}$. Giờ ta gọi $TS^{2}$ là tập hợp tất cả các vector tiếp tuyến trên mặt cầu $S^{2}$ thì $\tau$ xác định một ánh xạ $\tau: TS^{2} \to \mathbb{R^{3}}$. Ánh xạ này là toàn ánh, nhưng không là đơn ánh, ví dụ lấy điểm $(-x) \in S^{2}$ thì ta thu được ngay $v_{x} = v_{-x}$. Hơn nữa $\tau(0_{x}) = 0$ do đó $\tau^{-1}(0) = S^{2}$. Tiếp đó ánh xạ $TS^{2} \to S^{2} \times \mathbb{R^{3}}, v_{x} \mapsto (x, \tau(v_{x}))$ là một đơn ánh ( hiển nhiên ! ). Vậy chúng ta có thể topo hóa $TS^{2}$ như không gian con của $S^{2} \times \mathbb{R^{3}}$ bằng không gian các điểm $(x , v)$ trong đó $v$ vuông góc với $x$ ( $x$ đã được đồng nhất với vector nối từ tâm $S^{2}$ tới $x$ ). Do đó $TS^{2}$ được topo hóa và bằng hợp các mặt phẳng tiếp tuyến $P_{x}: TS^{2} = \cup P_{x}$. Bạn có thể nghĩ rằng $TS^{2}$ là một tập hợp các vector liên tục và được tham số hóa trên mặt cầu $S^{2}$. Bây giờ bạn có thể chứng minh rằng ánh xạ $h: TS^{2} \to S^{2} \times \mathbb{R^{2}}, P_{x} \mapsto x \times \mathbb{R^{2}}$ sao cho $h_{P_{x}}$ là các đẳng cấu tuyến tính, thật sự là một đồng phôi, vậy $TS^{2}$ đồng phôi với $S^{2} \times \mathbb{R^{2}}$. Nhưng như vậy trái với định lý Hairy Ball.

 

clgt.png

 

 

 

Giảm một chiều, bây giờ ta xét $TS^{1}$ . Lúc này các mặt phẳng tiếp tuyến chỉ đơn thuần là các vector tiếp tuyến $v_{x}$. Bạn lại có thể tiếp tục chứng minh $h : S^{1} \times \mathbb{R} \to TS^{1}, (x,t) \mapsto tv_{x}$ là một đồng phôi ( ở đây $v_{x}$ là vector tiếp tuyến duy nhất có độ dài bằng $1$ tại $x$ ), hơn nữa $h_{x \times \mathbb{R}}$ là đẳng cấu tuyến tính.

 

Điều tương tự cũng xảy ra cho trường hợp mặt cầu $S^{3},S^{7}$. Một định lý sâu sắc của K - lý thuyết nói rằng $TS^{n}$ " tương đương " $S^{n} \times \mathbb{R^{n}}$ khi và chỉ khi $n = 1,3,7$.

 

Mặc dù $TS^{n}$ không phải lúc nào cũng tương đương $S^{n} \times \mathbb{R^{n}}$ nhưng ta có thể làm điều này đúng theo địa phương. Lấy ví dụ $S^{2}$ và điểm $x$, mặt phẳng tiếp tuyến $P_{x}$. Gọi $P$ là mặt phẳng đi qua tâm $S^{2}$ và song song $P_{x}$. Với mỗi điểm $y \in S^{2}$ đủ gần $x$ thì ánh xạ $\pi_{y} : P_{y} \to P$ ánh xạ mỗi vector $v_{y}$ đến hình chiếu vuông góc của $\tau(v_{y})$ lên $P$ là một đẳng cấu tuyến tính. Do đó với mỗi $y \in S^{2}$ nằm trong lân cận đủ nhỏ $U$ của $x$ thì ánh xạ $(y , v_{y}) \mapsto ( y , \tau(v_{y})$ là một đồng phôi giữa không gian con của $TS^{2}$ chứa tất cả các vector tiếp tuyến tại các điểm của $U$ và kéo dài ra $Ư \times {R}$. Chúng ta có thể sửa cách nói này, bằng cách xét phép chiếu $p : TS^{2} \to S^{2}, (x,v_{x}) \mapsto x$ và có đồng phôi $p^{-1}(U) \to U\times P$ sao cho hạn chế $p^{-1}(y) \to y \times P$ là một đẳng cấu tuyến tính. Đây chính là định nghĩa của phân thớ vector:

 

Một phân thớ vector $n$ chiều là một ánh xạ liên tục $p : E \to B$ sao cho mỗi tập $p^{-1}(b), b\in B$ có một cấu trúc của không gian vector thực và tồn tại một phủ mở $U_{i}$ của $B$ sao cho hạn chế của $p : p^{-1}(U_{i}) \to U_{i} \times \mathbb{R^{n}}$ là một đồng phôi và $p : p^{-1}(b) \to b \times \mathbb{R^{n}}$ là một đẳng cấu tuyến tính. Không gian $B$ được gọi là không gian nền, không gian $E$ gọi là không gian tổng thể, $p^{-1}(b)$ được gọi là fiber. Tổng quát hơn ta có fiber bundle,ở đó các fiber trùng nhau và chỉ mang cấu trúc topo chứ chưa có cấu trúc không gian vector. Tức là vector bundle là fiber bundle nhưng các fiber là các không gian vector.

 

Tham khảo:

 

Allan Hatcher, vector bundle and K-theory, chapter $1$.

https://omniblog.quo...hat-are-bundles

phamkhoabang.blogspot.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-04-2018 - 16:29

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry

Đã gửi 06-04-2018 - 22:55

Mục đích bài viết này là xây dựng phần bù trực giao của một phân thớ con. Ta sẽ cụ thể bằng định nghĩa như sau:

 

Định nghĩa metric, hoặc tích vô hướng trên phân thớ vector ( tham khảo [1] )

 

Cho $p : E \to B$ là một phân thớ vector. Một metric trên $E$ là một ánh xạ liên tục:

 

$$\left \langle ; \right \rangle : E \oplus E \to \mathbb{R}$$

 

sao cho hạn chế trên mỗi double fiber $E_{b} \times E_{b}$ là một tích vô hướng của không gian vector.

 

Định nghĩa không gian paracompact ( tham khảo [2] )

 

Cho $X$ là một không gian topo Hausdorff, khi đó $X$ được gọi là paracompact nếu mọi phủ mở $\left \{ U_{i} \right \}_{i \in J}$ tồn tại một "subordinate partition of unity" ( viết tắt SPU ), tức là một họ các ánh xạ liên tục $\left \{ \phi_{i} \right \}: X \to [0,1]$ thỏa mãn:

 

$a)$ Tổng có giá hữu hạn:

 

$$\sum_{i \in J} \phi_{i}(x) = 1 \forall x \in X$$

 

$b)$ Support:

 

$$\overline{\phi^{-1}((0,1])} \subset U_{i}$$

 

Bổ đề $1$: Mọi phân thớ vector $p : E \to B$ trong đó $B$ là paracompact, thì tồn tại một tích vô hướng.

 

Chứng minh:

 

Theo định nghĩa của phân thớ vector, tồn tại các local trivializations tương ứng với phủ mở $\left \{ U_{i} \subset B  \right \}$

 

$$h_{i}: U_{i} \times \mathbb{R^{n}} \to p^{-1}(U_{i})$$

 

Đây là một đồng phôi, và hạn chế trên mỗi fiber là đẳng cấu tuyến tính. Ta có thể định nghĩa tích vô hướng trên $p^{-1}(x)$, thật vậy gọi $\left \langle ; \right \rangle$ là tích vô hướng chính tắc trên $\mathbb{R^{n}}$ và định nghĩa.

 

$$\left \langle h_{i}(v,x), h_{i}(u,x) \right \rangle _{i} = \left \langle v,u \right \rangle$$

 

Giờ đây dưới tổng Whitney ta có thể định nghĩa một tích vô hướng trên $E \oplus E$

 

$$\left \langle v,u  \right \rangle = \sum \phi_{i}(p(v)=p(u)) \left \langle v,u \right \rangle _{i}$$

 

Định nghĩa về subbundle ( tham khảo [3] )

 

Cho $p : E \to B$ là một phân thớ vector, không gian topo con $E_{0} \subset E$ giao với mỗi fiber $p^{-1}(b)$ tại một không gian vector, sao cho $p_{|E_{0}} : E_{0} \to B$ là một phân thớ vector, thì được gọi là một phân thớ con

 

Bổ đề $2$: ( tham khảo [4] )

 

Cho $p : E \to B$ là một phân thớ tầm thường hạng $n$ và $\left \langle , \right \rangle = \mu$ là một metric trên $E$. Khi đó tồn tại một hệ $s_{1},...s_{n}$ các section sao cho chúng trực chuẩn. Tức là

$\left \langle s_{i}(b),s_{i}(b) \right \rangle = 1, \left \langle s_{i}(b),s_{j}(b)  \right \rangle = 0 \forall i \neq j, b \in B$

 

Chứng minh:

 

Ta biết một phân thớ tầm thường khi và chỉ khi nó tồn tại $n$ section độc lập tuyến tính trong từng fiber, sau đó ta áp dụng phép trực giao hóa Schmidt sẽ thu được đpcm.

 

Bổ đề $3$: Cho một phân thớ hạng vector $p : E \to B$ sao cho $B$ là paracompact và $E_{0} \subset E$ là một phân thớ con, khi đó tồn tại phân thớ trực giao $E_{0}^{\perp}$ mà $E_{0} \oplus E_{0}^{\perp} \cong E$

 

Chứng minh: ( tham khảo [3] [4])

 

Không giảm tổng quát, giả sử  $\mathbb{rank}(E_{0}) = m \leq n$

 

Do $B$ là paracompact nên tồn tại một tích vô hướng, kí hiệu là $\left \langle  ,\right \rangle$. Gọi $E_{0}^{\perp} \subset E$ là không gian con mà trong mỗi fiber chứa các vector vuông góc với các vector trong $E_{0}$. Khi đó nếu ánh xạ cảm sinh từ $p$ $E_{0}^{\perp} \to B$ là một phân thớ vector thì $E_{0} \oplus E_{0}^{\perp} \cong E$ thông qua đẳng cấu $(v,u) \to v + u$

 

Do đó ta cần kiểm tra $E_{0}^{\perp}$ thỏa mãn điều kiện của một phân thớ vector. Ta kí hiệu ánh xạ cảm sinh là $q : E_{0}^{\perp} \to B$ và $k : E_{0} \to B$. Do $k, p$ là các phân thớ vector nên với mỗi $b_{0} \in B$ tồn tại một lân cận mở của $U$ của $b_{0}$ mà $k_{|U}$ và $p_{|U}$ đều là tầm thường ( "trivial" ). Khi đó theo bổ đề $2$ ta có thể gọi các section trực chuẩn của chúng là $s_{1},...s_{m}$ và $r_{1},...r_{n}$. Dễ kiểm tra rằng ma trận kiểu Gram $G(b_{0})=(\left \langle s_{i}(b_{0}),r_{j}(b_{0}) \right \rangle )_{i \times j}$ có hạng là $m$. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $m$ cột đầu là độc lập tuyến tính. Gọi $V \subset U$ là tập tất cả các điểm $b$ mà $m$ cột đầu của ma trận $G(b)$ là độc lập tuyến tính. Do ánh xạ ma trận $\mathbb{det}$ là liên tục nên nghịch ảnh $det^{-1}(0)=V^{c}$ là đóng, tức là $V$ mở.

 

Một phép kiểm tra đơn giản cho ta thấy $s_{1},...s_{m},r_{m+1},..r_{n}$ là độc lập tuyến tính tại mọi điểm $b \in V$, sử dụng trực giao hóa Schmidt một lần nữa cho ta một hệ trực chuẩn $s_1,..s_m,s_{m+1},..s_{n}$ của $q$, khi đó $q$ sẽ nhận một local trivialization như sau:

 

$$h : V \times R^{n-m} \to p^{-1}(V)$$

$$h(b,x) = x_{1}s_{m+1}(b)+...x_{n-m}s_{n}(b)$$

 

Dễ thấy $h$ là một đồng phôi, và hạn chế của nó lên mỗi fiber là đẳng cấu tuyến tính

 

Tham khảo:

 

[0] https://ncatlab.org/...tition of unity

[1] https://www.math.ru....4/Section10.pdf

[2] https://en.wikipedia...racompact_space

[3] vector bundle and K-theory, Allan Hatcher.

[4] Manifolds, vector bundles and Stiefel-Whitney classes, thesis of Michael D.Green.


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh