Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod ( Eilenberg - Steenrod axioms ) và định lý cùng tên cho ta thấy hai lý thuyết đồng điều ( thỏa mãn các tiên đề này ) thì đẳng cấu với nhau ( có thể tìm tại Spanier, pp $199-205$ )
Chúng ta có rất nhiều lý thuyết đồng điều, như cubial, singular, simplicial, cellular. Với mỗi lý thuyết ta có thể chứng minh chúng đẳng cấu với nhau. Tuy nhiên bằng những cách khá là khó và bằng cách chỉ sử dụng các tiên đề của Eilenberg-Steenrod thì ta có thể chứng minh hai lý thuyết bất kì đẳng cấu với nhau. ( có thể mình sẽ ghi cái này một lúc nào đó )
Bình luận: Tiên đề về excision có thể thay bằng dãy Mayer-Vietoris. ( Spanier, p.$208$ )
Có một hệ tiên đề mở rộng của E-S trong phạm trù rộng hơn cho các cặp noncompact nhưng nó yêu cầu thêm một tiên đề nữa về compact support. Với tiên đề mở rộng này thì định lý E-S vẫn đúng.
Một lý thuyết đối đồng điều kì dị thực ra chỉ là một lý thuyết đồng điều. Nhưng nó chỉ không thỏa mãn tiên đề dimension. ( tiên đề thứ $4$ ) Một ví dụ điển hình là K - lý thuyết topo. Trong đại số hoặc hình học đại số, thì là K - lý thuyết đại số. ( Daniel Quillen ) Đây cũng là một công cụ cơ bản của đại số toán tử.
Quay lại một chút lịch sử, thì K - lý thuyết đầu tiên được sử dụng bởi Grothendieck để làm định lý Riemann - Roch - Grothendieck. Chữ K trong K - theory là viết tắt của Klasse trong tiếng Đức, trong tiếng Anh là class. Khi đầu Dieck làm việc với các coherent bó trên đa tạp đại số. Thay vì làm việc thẳng với các bó, thì Dieck định nghĩa một nhóm sử dụng lớp các đẳng cấu của bó như là các phần tử sinh của nhóm, đồng nhất quan hệ mở rộng của hai bó bất kì là tổng của chúng. Nhóm nhận được gọi là $K(X)$ hoặc $G(X)$ phụ thuộc vào bó mà ta làm việc. Cả hai nhóm này có thể xem như nhóm Grothendieck tương ứng với cách sử dụng đồng điều hay đối đồng điều. Về sau năm $1959$ trong topo thì Atiyah và Hirzebruch áp dụng cách xây dựng tương tự cho các phân thớ vector và nhận được nhóm $K(X)$ cho không gian topo $X$. Sử dụng định lý tuần hoàn Bott họ đã tạo ra cơ sở của lý thuyết đối đồng điều kì dị ( extraodinary cohomology theory ). Điều này cũng đóng một vai trò quan trọng trong chứng minh thứ hai của định lý chỉ số ( index theorem ). Xa hơn nữa thì điều này dẫn đến K - lý thuyết không giao hoàn của C* - đại số.
Theo vài khía cạnh nào đó thì K - lý thuyết dễ hơn lý thuyết đồng điều và đối đồng điều thông thường và mạnh hơn cho một vài mục đích nhất định. Một trong các ứng dụng của nó là định lý của Bott và Milnor khẳng định chỉ có bốn đại số chia thực chiều $1,2,4,8$ hoặc là định lý của Adam số cực đại các phân thớ tiếp tuyến độc lập tuyến tính trên mặt cầu số chiều bất kì, định lý này sử dụng K - lý thuyết dễ dàng hơn lý thuyết đối đồng điều rất nhiều.
Để học K - lý thuyết thì theo mình biết chỉ cần đại số tuyến tính, topo đại cương, đại số trừu tượng, một ít giải tích phức. Dĩ nhiên nếu biết đối đồng điều hoặc topo đại số thì sẽ rất tốt. Học xong K - lý thuyết sẽ biết các stable J-homomorphism để tấn công vào stable homotopy, có thể học tiếp characteristic class , dãy phổ sau đó học sâu hơn về stable homotopy và các lý thuyết đồng điều mở rộng.
Tham khảo thêm tại đây
Vậy có khi mình làm vài bài ở đây tiếp về K - lý thuyết , coi như note lại sau này và ôn luôn.