Đến nội dung

Hình ảnh

Đồng quy khi $AD$ là đường đối trung

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
melodias2002

melodias2002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường thẳng $IO$ cắt $AB$, $AC$ tại $F$, $E$. Chứng minh rằng: $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy khi và chỉ khi $AD$ là đường đối trung thuộc góc A của tam giác $ABC$.



#2
Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Giả sử $AD$ là đường đối trung. Theo bổ đề quen thuộc suy ra $OI$ vuông góc với $AD$, gọi $S$ là giao điểm của $OI$ và $BC$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AB, AC$. Dễ thấy $S, P ,Q$ thẳng hàng. Từ đó suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{SB}{SC}$.

 

Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $SFE$ ta được:

 

$\frac{FA}{FB}.\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

Nên theo định lý $Ceva$ đảo ta có điều phải chứng minh. 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#3
toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết

Giả sử $AD$ là đường đối trung. Theo bổ đề quen thuộc suy ra $OI$ vuông góc với $AD$, gọi $S$ là giao điểm của $OI$ và $BC$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AB, AC$. Dễ thấy $S, P ,Q$ thẳng hàng. Từ đó suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{SB}{SC}$.

 

Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $SFE$ ta được:

 

$\frac{FA}{FB}.\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

Nên theo định lý $Ceva$ đảo ta có điều phải chứng minh. 

Bạn cho mình hỏi về cách vẽ hình :D 


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh