Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $Lim\frac{9}{2}(n^{3}-n)u_{n}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
huyqhx9

huyqhx9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Cho dãy số ( u(n)) xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ n(n^{2}-1)u_{n} = u_{1}+2u_{2}+3u_{3}+.....+(n-1)u_{n-1}& \end{matrix}\right.$ , mọi n>1 ,$n\in N$.

 

Tìm $Lim\frac{9}{2}(n^{3}-n)u_{n}$



#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Cho dãy số ( u(n)) xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ n(n^{2}-1)u_{n} = u_{1}+2u_{2}+3u_{3}+.....+(n-1)u_{n-1}& \end{matrix}\right.$ , mọi n>1 ,$n\in N   \   (1) $.

 

Tìm $Lim\frac{9}{2}(n^{3}-n)u_{n}$

 

Lời giải:

 

Đặt $a_n = n \cdot u_n$ thì từ $(1)$ ta có:

 

$ (n^2 -1) a_n = a_1 + a_2 +.... + a_{n-1}$ với mọi $ n \ge 2$

 

$ \implies n^2 a_n = a_1 + a_2 +.... a_{n-1} + a_n$ với mọi $ n \ge 2   \ (2)$

 

Tiếp tục sử dụng dãy phụ: $ b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$ thì từ $(2)$ suy ra:

 

$ n^2 (b_n - b_{n-1}) = b_n \implies b_n \cdot (n^2-1) = n^2 \cdot b_{n-1}$

 

Suy ra: $ \frac{b_n}{b_{n-1}} =  \frac{ n^2}{n^2-1}$

 

Suy ra : $ \frac{b_n}{b_{n-1}} \cdot \frac{b_{n-1}}{b_{n-2}} \cdots \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_n}{b_1}  = \frac{ n^2}{n^2-1} \cdot \frac{ (n-1)^2}{(n-1)^2-1}  \cdots  \frac{2^2}{2^2 -1}$

 

$ \implies \frac{b_n}{b_1}  = \frac{2n}{n+1} \implies b_n = \frac{4n}{n+1} $

 

$\implies a_n = b_n - b_{n-1} =   \frac{4}{n(n+1)} $

 

$ \implies u_n = \frac{a_n}{n} = \frac{4}{n^2 (n+1)} $

 

$\implies \lim \frac{9}{2} \cdot (n^3 - n) u_n = \lim \frac{ 18 (n^2 -1)}{n(n+1)} = 18$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 02-09-2018 - 13:41

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh