Cho dãy số ( u(n)) xác định bởi :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ n(n^{2}-1)u_{n} = u_{1}+2u_{2}+3u_{3}+.....+(n-1)u_{n-1}& \end{matrix}\right.$ , mọi n>1 ,$n\in N$.
Tìm $Lim\frac{9}{2}(n^{3}-n)u_{n}$
Cho dãy số ( u(n)) xác định bởi :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ n(n^{2}-1)u_{n} = u_{1}+2u_{2}+3u_{3}+.....+(n-1)u_{n-1}& \end{matrix}\right.$ , mọi n>1 ,$n\in N$.
Tìm $Lim\frac{9}{2}(n^{3}-n)u_{n}$
Cho dãy số ( u(n)) xác định bởi :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ n(n^{2}-1)u_{n} = u_{1}+2u_{2}+3u_{3}+.....+(n-1)u_{n-1}& \end{matrix}\right.$ , mọi n>1 ,$n\in N \ (1) $.
Tìm $Lim\frac{9}{2}(n^{3}-n)u_{n}$
Lời giải:
Đặt $a_n = n \cdot u_n$ thì từ $(1)$ ta có:
$ (n^2 -1) a_n = a_1 + a_2 +.... + a_{n-1}$ với mọi $ n \ge 2$
$ \implies n^2 a_n = a_1 + a_2 +.... a_{n-1} + a_n$ với mọi $ n \ge 2 \ (2)$
Tiếp tục sử dụng dãy phụ: $ b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$ thì từ $(2)$ suy ra:
$ n^2 (b_n - b_{n-1}) = b_n \implies b_n \cdot (n^2-1) = n^2 \cdot b_{n-1}$
Suy ra: $ \frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{ n^2}{n^2-1}$
Suy ra : $ \frac{b_n}{b_{n-1}} \cdot \frac{b_{n-1}}{b_{n-2}} \cdots \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_n}{b_1} = \frac{ n^2}{n^2-1} \cdot \frac{ (n-1)^2}{(n-1)^2-1} \cdots \frac{2^2}{2^2 -1}$
$ \implies \frac{b_n}{b_1} = \frac{2n}{n+1} \implies b_n = \frac{4n}{n+1} $
$\implies a_n = b_n - b_{n-1} = \frac{4}{n(n+1)} $
$ \implies u_n = \frac{a_n}{n} = \frac{4}{n^2 (n+1)} $
$\implies \lim \frac{9}{2} \cdot (n^3 - n) u_n = \lim \frac{ 18 (n^2 -1)}{n(n+1)} = 18$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 02-09-2018 - 13:41
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh