Chủ đề này có 1 trả lời

[DinhXuanHung CQB]

Trong một hội nghị khách hàng, mỗi người tham gia được chọn một số tự nhiên có hai chữ số ghi lên phiếu của mình và cứ $10$ người thì được xếp ngẫu nhiên vào một bàn. Một bàn được gọi là bàn "thân thiện" nếu trong $10$ người của bàn đó có thể chọn ra hai nhóm người (số lượng người của mỗi nhóm là tùy ý và khác $0$) sao cho tổng các số ghi trên phiếu của mỗi nhóm là bằng nhau. Chứng minh rằng tất cả các bàn trong hội nghị đều là bàn "thân thiện".

[trambau]

Trong một hội nghị khách hàng, mỗi người tham gia được chọn một số tự nhiên có hai chữ số ghi lên phiếu của mình và cứ $10$ người thì được xếp ngẫu nhiên vào một bàn. Một bàn được gọi là bàn "thân thiện" nếu trong $10$ người của bàn đó có thể chọn ra hai nhóm người (số lượng người của mỗi nhóm là tùy ý và khác $0$) sao cho tổng các số ghi trên phiếu của mỗi nhóm là bằng nhau. Chứng minh rằng tất cả các bàn trong hội nghị đều là bàn "thân thiện".

Chọn 1 bàn bất kì trong hội nghị

Chọn một bàn bất kì trong hội nghị. Giả sử các thành viên trong bàn đó mang các số từ a1, ..., a10. Nếu trong bàn có hai người có số giống nhau thì bài toán được giải quyết. Ta chỉ xét trường hợp $a_i \neq a_j , \forall i \neq j$ . Đặt $B_1 = {a_i}; B2 = { {a_i + a_j |i \neq j} }; ...; B_9 = { a_1 + ... + a_10 − ai |1 \leq i \leq10 }$. Tổng các số trên bàn chỉ nhận giá trị từ 145 đến 945.

Mà $|B_1| + |B_2| + ... + |B_9| = C^1_{10} + C^2_{10} + ... + C^9_{10} = 210 − 2 = 1022$

Nguồn: Đáp án đề HSG Quảng Bình 2016- 2017

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 04-03-2018 - 17:14