Chủ đề này có 1 trả lời

[libach80]

Từ các chữ số $6;7;8;9$ lập số có $2018$ chữ số.Lấy ngẩu nhiên một số tính xác suất để được số chia hết cho $3$

[Puisunjouronestledumonde]

Từ các chữ số $6;7;8;9$ lập số có $2018$ chữ số.Lấy ngẩu nhiên một số tính xác suất để được số chia hết cho $3$

Đặt:

$A_{n}$ là tập các số có n chữ số được lập từ $\left \{ 6;7;8;9 \right \}$ và chia hết cho 3.

$B_{n}$ là tập các số có n chữ số được lập từ $\left \{ 6;7;8;9 \right \}$ và không chia hết cho 3.

Lấy 1 số thuộc $A_{n}$ có $2$ cách (thêm 6 hoặc 9) để được 1 số thuộc $A_{n+1}$; và có $2$ cách (thêm vào 7 hoặc 8) để được 1 số thuộc $B_{n+1}$.

Lấy 1 số thuộc $B_{n}$ có $1$ cách (thêm 7 hoặc 8) để được 1 số thuộc $A_{n+1}$; và có $3$ cách (thêm vào 6,9 và 7 hoặc 8) để được 1 số thuộc $B_{n+1}$.

Từ đó, đặt $a_{n}=\left | A_{n} \right |$ và $b_{n}=\left | B_{n} \right |$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n+1}=2a_{n}+b_{n} \left ( 1 \right ) & & & & & & \\ b_{n+1}=2a_{n}+3b_{n} \left ( 2 \right ) & & & & & & \end{matrix}\right.$

Từ  $\left ( 1 \right )$ và $ \left ( 2 \right )$ suy ra:

$b_{n+1}=2a_{n}+3\left (a_{n+1}-2a_{n} \right )=3a_{n+1}-4a_{n}$

$\Rightarrow a_{n+1}=2a_{n}+3a_{n}-4a_{n-1}=5a_{n}-4a_{n-1}$

$\Rightarrow a_{n}=5a_{n-1}-4a_{n-2};\forall n\geqslant 3.$

Xét dãy số $\left ( a_{n} \right )$ ta có dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 là $ a_{n}=5a_{n-1}-4a_{n-2};\forall n\geqslant 3$ với giá trị khởi tạo $a_{1}=2$ (là số 6,9) và $a_{2}=6$ (là số 66,99,69,96,78,87) 

Phương trình đặc trưng: $x^{2}-5x+4=0\Rightarrow x_{1}=1$ và $x_{2}=4$

Dạng tổng quát: $a_{n}=C+D.4^{n}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}=C+D.4=2 & & & & & & \\ a_{2}=C+D.4^{2}=6& & & & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}=C+4D=2 & & & & & & \\ a_{2}=C+16D=6& & & & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} C=\frac{2}{3} & & & & & & \\ D=\frac{1}{3}& & & & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a_{n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}.4^{n}=\frac{4^{n}+2}{3}$

XS cần tìm:

$P=\frac{a_{n}}{\left | \Omega \right |}=\frac{4^{2018}+2}{3.4^{2018}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Puisunjouronestledumonde: 16-03-2018 - 16:55