Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$
Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$
#1
Posted 07-03-2018 - 05:54
#2
Posted 12-03-2018 - 08:14
Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$
Trước hết, ta chứng minh $-C_p^1+2C_p^2-3C_p^3+...+(-1)^p.p.C_p^p=0$ (1)
Thật vậy, ta có $(1-x)^p=C_p^0-C_p^1x+C_p^2x^2-C_p^3x^3+...+(-1)^pC_p^px^p$
Đạo hàm 2 vế : $-p(1-x)^{p-1}=-C_p^1+2C_p^2x-3C_p^3x^2+...+(-1)^p.p.C_p^px^{p-1}$
Cho $x=1$ suy ra $-C_p^1+2C_p^2-3C_p^3+...+(-1)^p.p.C_p^p=0$
Bây giờ ta tính $S$ :
$S=-\frac{C_n^1}{2.3}+\frac{2C_n^2}{3.4}-\frac{3C_n^3}{4.5}+...+\frac{(-1)^n.n.C_n^n}{(n+1)(n+2)}$
$=-\frac{n}{3!}+\frac{2n(n-1)}{4!}-\frac{3n(n-1)(n-2)}{5!}+...+\frac{(-1)^n.n.n!}{(n+2)!}$
$(n+1)(n+2)S=-C_{n+2}^3+2C_{n+2}^4-3C_{n+2}^5+...+(-1)^n.n.C_{n+2}^{n+2}$ (2)
Mặt khác $M=C_{n+2}^0-C_{n+2}^1+C_{n+2}^2-...+(-1)^n.C_{n+2}^{n+2}=0$
$(n+1)(n+2)S=(n+1)(n+2)S+2M$
$=2C_{n+2}^0-2C_{n+2}^1+2C_{n+2}^2-3C_{n+2}^3+4C_{n+2}^4-5C_{n+2}^5+...+(-1)^n(n+2)C_{n+2}^{n+2}$
$=2C_{n+2}-C_{n+2}^1+[-C_{n+2}^1+2C_{n+2}^2-3C_{n+2}^3+...+(-1)^n(n+2).C_{n+2}^{n+2}]$
Từ (1) suy ra biểu thức trong móc vuông bằng $0$. Vậy :
$(n+1)(n+2)S=2C_{n+2}^0-C_{n+2}^1=2-(n+2)=-n\Rightarrow S=-\frac{n}{(n+1)(n+2)}$
Edited by chanhquocnghiem, 12-03-2018 - 08:24.
- Katyusha likes this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users