Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số chính phương 

 

[PhanThai0301]

Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số nguyên tố.

 Mình nghĩ đề là số nguyên tố thì đứng hơn: đây là lời giải của mình.

                                                                           bài làm

Giả sử M=$a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ là số nguyên tố và $a\geq b$.

+) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}}\notin \mathbb{Q}$ thì $a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ là số vô tỉ.(Mâu thuẫn).

+) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}} \in  \mathbb{Q}$ mà $ab+c^{2} \in \mathbb{N}$ nên $\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{N} \Rightarrow a+b -2\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{Z}$ và $M \in \mathbb{N}$

Ta có $M=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}} = \frac{(a+b)^{2}- 4(ab+c^{2})}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$

                                            $= \frac{(a-b)^{2}-4c^{2}}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$

                                            $= \frac{(a-b-2c)(a-b+2c)}{a+b- 2\sqrt{ab+c^{2}}}$

Đặt $a-b-2c=x , a-b+2c = y , a+b-2\sqrt{ab+c^{2}}= z$ $(x;y;z \in \mathbb{Z})$

Suy ra $M=\frac{xy}{z}$ 

 Vì $M\in \mathbb{Z}$ nên tồn tại 2 số nguyên $k,k' \in \mathbb{Z}$ sao cho $z=k.k'$ và $x\vdots k, y\vdots k'$

Suy ra $x=k.p; y=k'q$ $(p,q\in \mathbb{Z})$ suy ra $M= p.q$

+) Xét $p=1$ thì $x=k \Rightarrow z\vdots x$.

=> đpcm.

cách khác cho TH2:

$(a+b-M)^2=4(c^2+ab)$ $\Leftrightarrow (a-b-2c)(a-b+2c)=M(2a+2b-M)$ . Nhưng $M\ge a+b+2c$ ( theo điều kiện của M).

Do đó  $M\ge(a-b+2c)\ge(a-b-2c)$ . Mặt khác  $x\mid(a-b-2c)(a-b+2c)$ vì thế M ko phải là số nguyên tố . (Q.E.D).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 18-03-2018 - 09:52