SỞ GD & ĐT SƠN LA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
---- o0o ---- LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: 1) Cho biểu thức $P=\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+1$
a) Rút gọn P b) Biết 0 < x < 1, hãy so sánh P với $\left | P \right |$
c) Tìm GTNN của P
2) Cho $f(x)=\left ( 2x^{3}-21x-29 \right )^{2018}$. Tính f(x) tại $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$
Câu 2: a) Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}=1+\sqrt{x^{4}-1}$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left ( 1+\frac{1}{x+y} \right ) =2& \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\frac{1}{x+y} \right )=4\sqrt{2}& \end{matrix}\right.$
Câu 3: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$
Chứng minh rằng $\frac{x}{x^{4}+1+2xy}+\frac{y}{y^{4}+1+2yz}+\frac{z}{z^{4}+1+2zx}\leq \frac{3}{4}$
Câu 4: a) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho $\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^{0}$. Chứng minh rằng AM = AN
b) Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, M, N (không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh rằng trong các tam giác AMN, BDN, CDM có ít nhất một tam giác mà diện tích không vượt quá diện tích tam giác ABC
Câu 5: Trong một hình vuông có cạnh bằng 6, ta có một số các đường tròn có tổng chu vi bằng 2018. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 108 đường tròn trong chúng