Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
minhhungtuan

minhhungtuan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Cho a,b,c thực dương.Chứng minh

$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

[attachment=33608:CodeCogsEqn (17).gif]



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c thực dương.Chứng minh

$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$

Ta luôn có: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqslant 0\Leftrightarrow 3(a+b)\geqslant 2(a+\sqrt{ab}+b)\Leftrightarrow a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}\geqslant \frac{(a+a+a)(a+\sqrt{ab}+b)(a+b+c)}{27}$

Mặt khác theo bất đẳng thức Holder: $(a+a+a)(a+\sqrt{ab}+b)(a+b+c)\geqslant (\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{ab\sqrt{ab}}+\sqrt[3]{abc})^3=(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc})^3$

Vậy ta có: $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh