Cho 3 số thực không âm a,b,c khác nhau từng đôi một. Chứng minh:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ac}$
Cho 3 số thực không âm a,b,c khác nhau từng đôi một. Chứng minh:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ac}$
$\sqrt{MF}$ math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$
Mình có cách này không biết có được không
Không mất tính tổng quát, giả sử$ a=Min{{a,b,c}}$
Đặt $b=x+a$
$c=a+y$
$\rightarrow b-c=x-y$
$ab+bc+ca=3a^2+2a(x+y)+xy\geq xy$
$\rightarrow VP\leq \frac{4}{xy}$
-> Ta cần chứng minh
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{4}{xy}$
$\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{(x-y)^2} \geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}\geq 4$
Đến đây chắc bạn tự làm được rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-03-2018 - 17:57
Cho 3 số thực không âm a,b,c khác nhau từng đôi một. Chứng minh:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ac}$
Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$
Khi đó $VT\geq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}=\frac{2}{ab}+\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}\geq \frac{4}{ab}\geq \frac{4}{bc+ca+ab}.$
Đẳng thức xảy ra khi $(1+\sqrt{5},-1+\sqrt{5},0)$ và các hoán vị
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh