Chủ đề này có 3 trả lời

[Lao Hac]

Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. CMR
$\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}+\frac{b}{b^{3}+c^{2}+a}+\frac{c}{c^{3}+a^{2}+b}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 23-03-2018 - 20:55

[nmtuan2001]

Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. CMR
$\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}+\frac{b}{b^{3}+c^{2}+a}+\frac{c}{c^{3}+a^{2}+b}\leq 1$

Cauchy-Schwarz: $(a^3+b^2+c)(\frac{1}{a}+1+c) \geq (a+b+c)^2=9$
Tương tự, ta có
$$VT \leq \sum \frac{a(\frac{1}{a}+1+c)}{9}=\frac{6+ab+bc+ca}{9} \leq 1$$
Vì $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 23-03-2018 - 21:12

[DOTOANNANG]

$\lceil\,\,a+ b+ c= 3,\,a> 0,\,b> 0,\,c> 0\,\,\rfloor$                        $\frac{2\,a+ b}{a+ b+ c}\geqq \frac{3\,a}{b+ c^{2}+ a^{3}}$

 

[DOTOANNANG]

$$\frac{a}{a^{\,3}+ b^{\,2}+ c}+ \frac{b}{b^{\,3}+ c^{\,2}+ a}+ \frac{c}{c^{\,3}+ a^{\,2}+ b}\leqq \frac{a\left ( \frac{1}{a}+ 1+ c \right )+ b\left ( \frac{1}{b}+ 1+ a \right )+ c\left ( \frac{1}{c}+ 1+ b \right )}{\left ( a+ b+ c \right )^{\,2}}\leqq 1$$

 

$\Leftrightarrow 3+ a+ b+ c\leqq ab+ bc+ ca+ a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}$ , đúng do: $3+ a+ b+ c= \frac{2}{3}\left ( a+ b+ c \right )^{\,2}\leqq ab+ bc+ ca+ a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}$