Chủ đề này có 4 trả lời

[Leuleudoraemon]

Cho ba số a, b, c dương , CMR:

   $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

[Leuleudoraemon]

ai có cách nào hay xin chỉ dùm

mà nhân đây cho em hỏi về kĩ thuât chuẩn hóa vs ah chưa rành nhắm

[Leuleudoraemon]

Chuẩn hóa abc=1 =>$a=\frac{x}{y}; b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

Khi đó VT=$\sum \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x(x^2+yz)}}=\sum \frac{y^2}{\sqrt{xy(x^2+yz)}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum \sqrt{xy(x^2+yz)}}\geq \sum \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(\sum xy)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx) }}\geq \frac{2\sqrt{2}(x+y+z)^2}{2\sqrt{(2\sum xy)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}}\geq \frac{2\sqrt{2}(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3\sum xy}\geq \frac{2\sqrt{2}(x+y+z)^2}{\frac{4}{3}(x+y+z)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{\sqrt{2abc}}$

  gõ Latex mêt.......  

[DOTOANNANG]

[attachment=33727:CodeCogsEqn (19).gif]

[KietLW9]

Cho ba số a, b, c dương , CMR:

   $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant 3$

Áp dụng Cauchy, ta có: $\sqrt{\frac{a(a+b)}{2bc}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a+b}{2b}+\frac{a}{c})=\frac{2ab+bc+ca}{4bc}\Rightarrow \sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}+\frac{4ca}{2bc+ca+ab}+\frac{4ab}{2ca+ab+bc}=\sum_{cyc}\frac{4(bc)^2}{2ab.bc+(bc)^2+ca.bc}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+ab.bc+bc.ca+ca.ab}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}}=3(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$