Cho: $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}+7}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}+7}{(c+a)^{2}}\geq 6$
#1
Đã gửi 30-03-2018 - 12:46
#2
Đã gửi 30-03-2018 - 13:04
Cho: $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}+7}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}+7}{(c+a)^{2}}\geq 6$
SOLUTION BY TRẦN THẮNG
- hoangkimca2k2 và Tea Coffee thích
Trương Văn Hào ☺☺ 超クール
Kawaiiii ☺
#3
Đã gửi 16-05-2021 - 13:56
Cho: $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}+7}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}+7}{(c+a)^{2}}\geq 6$
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}=\frac{a^{2}b^{2}+1+2(a^2+b^2+c^2)}{(a+b)^{2}}\geqslant \frac{2ab+2(a^2+b^2+c^2)}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^2+(a^2+b^2+2c^2)}{(a+b)^{2}}$
Tương tự rồi cộng lại, ta cần chứng minh: $\frac{a^2+b^2+2c^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2+c^2+2a^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2+a^2+2b^2}{(c+a)^2}\geqslant 3$
Mặt khác theo $\text{AM-GM}$: $\frac{a^2+b^2+2c^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2+c^2+2a^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2+a^2+2b^2}{(c+a)^2}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2+2c^2)(b^2+c^2+2a^2)(c^2+a^2+2b^2)}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}}$
Ta cần chỉ ra rằng: $(a^2+b^2+2c^2)(b^2+c^2+2a^2)(c^2+a^2+2b^2)\geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$
Thật vậy, ta có: $(a+b)^2(b+c)^2\leqslant 4(a^2+b^2)(b^2+c^2)\leqslant (a^2+2b^2+c^2)^2$
Một cách tương tự rồi nhân theo vế ta sẽ có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 13:57
- hoangkimca2k2 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh