Giả sử phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực với mọi $a,b\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}\geq 8$
#1
Đã gửi 01-04-2018 - 10:24
#2
Đã gửi 01-04-2018 - 14:54
$x=0$ không là nghiệm
$$x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+2+\frac{b}{x}+\frac1{x^2}=0$$
$$\Leftrightarrow x^2+\frac1{x^2}+2=-ax-\frac{b}{x}\leq\sqrt{(a^2+b^2)\left(x^2+\frac1{x^2}\right)}$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{\left(x^2+\frac1{x^2}+2\right)^2}{x^2+\frac1{x^2}}=\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+\frac4{x^2+\frac1{x^2}}+4\geq2\sqrt4+4=8$$
- tritanngo99, Khoa Linh và PugMath thích
Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, pt
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh