Bài 1. (5 điểm)
a) Giải phương trình: $x^2 + 8 = 3\sqrt{x^3+8}$
b) Cho tam thức bậc hai $P(x)$ có hệ số thực và thỏa mãn: $$x^2-2x+3 \leqslant P(x) \leqslant 15x^2 - 30x + 17, \forall x.$$
Biết rằng $P(13) = 2018$, tính $P(0)$.
Bài 2. (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(3,0),B(0,4)$. Biết rằng tồn tại đúng một hình vuông có hai đỉnh nằm trên đoạn $AB$ còn hai đỉnh kia nằm trên các đoạn $OA$, $OB$. Hãy xác định tọa độ tâm $I$ của hình vuông đó.
Bài 3. (3 điểm)
Xét các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $\dfrac1{x} + \dfrac1{y} + \dfrac1{z} = 2$.
Chứng minh rằng: $x+y+2z^2 \geqslant 6$. Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB < AC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $D, B$ lần lượt là giao điểm của tia $AI$ với $BC$, $(O)$. Đường thẳng qua $I$, vuông góc với $AI$ cắt $BC$ ở $K$ và $KA$, $KE$ cắt lại $(O)$ ở $M$, $N$ Các tia $ND$, $NI$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $Q$, $P$.
a) Chứng minh rằng tam giác $INE$ vuông.
b) Chứng minh rằng $PM = PQ$.
Bài 5. (2 điểm)
Trong một câu lạc bộ có $100$ học sinh, gồm $90$ học sinh chơi cầu lông, $80$ học sinh chơi bóng bàn và $70$ học sinh chơi đá bóng. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh chơi cả ba môn thể thao?
Bài 6. (3 điểm)
Ở một công ty, có $10$ xe đưa rước nhân viên xuất phát từ cùng một bến để đi đến công ty. Mỗi tài xế có hai lựa chọn là:
(1) Đi quốc lộ, không ngại kẹt xe nhưng phải đi vòng, thời gian tốn là $40$ phút.
(2) Đi nội thành, đường ngắn hơn và chỉ mất $15$ phút nếu một xe chạy, nhưng do đường nhỏ nên nếu có thêm một xe nữa cũng chạy (chỉ xét xe của công ty này) thì thời gian di chuyển của các xe sẽ cùng tăng $5$ phút; cứ như thế, thời gian tăng sẽ tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm.
Hỏi các tài xế phải thảo luận và chọn ra bao nhiêu xe đi trong nội thành để tổng thời gian các xe di chuyển là ít nhất?
HẾT
Hình gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Iceghost: 07-04-2018 - 14:58
