Chủ đề này có 2 trả lời

[vutuanhien]

Lâu lâu đăng một bài vui vẻ, nhưng cũng không đến mức quá hiển nhiên.

 

Ta gọi một vành $A$ là vành định giá rời rạc nếu $A$ là một miền chính (P.I.D) và $A$ chỉ có duy nhất một ideal nguyên tố khác $0$. Chứng minh rằng nếu $A$ là một miền địa phương Noether thỏa mãn ideal cực đại của $A$ là ideal chính thì $A$ là vành định giá rời rạc. 

[nkhunghpvn1998]

Mình sử dụng một kết quả trong "Algebraic Curves" của Fulton:
"$A$ là miền địa phương Noether thỏa mãn ideal cực đại là ideal chính thì tồn tại phần tử $t$ bất khả quy thuộc $A$ sao cho mọi phần tử khác không z thuộc A viết được duy nhất dưới dạng $z=ut^{n}$, trong đó $u$ là đơn vị của $A$, $n$ là số nguyên không âm."

 

Trở lại bài toán,

Giả sử $A$ là miền địa phương Noether có $M$ là ideal cực đại và cũng là ideal chính, gọi $t$ là phần tử sinh của $M$.

Từ chứng minh của kết quả nêu trên, mọi phần tử khác không $z$ thuộc $A$ sẽ viết được dưới dạng $z = ut^{n}$, trong đó $u$ là đơn vị của $A$, $n$ là số nguyên không âm.

Gọi $I$ là một ideal của $A$. Gọi $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại $x$ thuộc $I$ mà $x = vt^m$, $v$ là đơn vị của $A$. Khi đó suy ra $I$ là ideal chính với phần tử sinh là $t^m$.

Ta chứng minh ideal nguyên tố duy nhất của $A$ là $M$. Hiển nhiên $M$ là ideal nguyên tố do $t$ là bất khả quy.

Gọi $p$ là ideal nguyên tố của $A$.

Xét $z = ut^n$ thuộc $p$, $u$ là đơn vị của $A$, $n$ là số nguyên không âm. Chon $x = ut^{n-1}$ và $y = t$ thì $xy = z$ và do $p$ là nguyên tố nên $x$ hoặc $y$ thuộc $p$. Nếu $y$ thuộc $p$ thì $p = M$. Nếu $x$ thuộc $p$ thì lại thực hiện tương tự như trên, sau một số hữu hạn bước, với chú ý $u$ không thuộc $p$ (vì nếu không thì $1$ thuộc $p$ và $p = A$, vô lý) thì ta có $t$ thuộc $p$, $p = M$.

Ta có điều phải chứng minh.  

 

P/s: Hơi bị hoảng khi thấy trên Wikipedia có đến chục cái định nghĩa khác nhau về vành định giá rời rạc  .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nkhunghpvn1998: 29-07-2018 - 01:03

[vutuanhien]

Mình sử dụng một kết quả trong "Algebraic Curves" của Fulton:
"$A$ là miền địa phương Noether thỏa mãn ideal cực đại là ideal chính thì tồn tại phần tử $t$ bất khả quy thuộc $A$ sao cho mọi phần tử khác không z thuộc A viết được duy nhất dưới dạng $z=ut^{n}$, trong đó $u$ là đơn vị của $A$, $n$ là số nguyên không âm."

 

Trở lại bài toán,

Giả sử $A$ là miền địa phương Noether có $M$ là ideal cực đại và cũng là ideal chính, gọi $t$ là phần tử sinh của $M$.

Từ chứng minh của kết quả nêu trên, mọi phần tử khác không $z$ thuộc $A$ sẽ viết được dưới dạng $z = ut^{n}$, trong đó $u$ là đơn vị của $A$, $n$ là số nguyên không âm.

Gọi $I$ là một ideal của $A$. Gọi $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại $x$ thuộc $I$ mà $x = vt^m$, $v$ là đơn vị của $A$. Khi đó suy ra $I$ là ideal chính với phần tử sinh là $t^m$.

Ta chứng minh ideal nguyên tố duy nhất của $A$ là $M$. Hiển nhiên $M$ là ideal nguyên tố do $t$ là bất khả quy.

Gọi $p$ là ideal nguyên tố của $A$.

Xét $z = ut^n$ thuộc $p$, $u$ là đơn vị của $A$, $n$ là số nguyên không âm. Chon $x = ut^{n-1}$ và $y = t$ thì $xy = z$ và do $p$ là nguyên tố nên $x$ hoặc $y$ thuộc $p$. Nếu $y$ thuộc $p$ thì $p = M$. Nếu $x$ thuộc $p$ thì lại thực hiện tương tự như trên, sau một số hữu hạn bước, với chú ý $u$ không thuộc $p$ (vì nếu không thì $1$ thuộc $p$ và $p = A$, vô lý) thì ta có $t$ thuộc $p$, $p = M$.

Ta có điều phải chứng minh.  

 

P/s: Hơi bị hoảng khi thấy trên Wikipedia có đến chục cái định nghĩa khác nhau về vành định giá rời rạc  .

Cách này cũng được, nhưng có thể chứng minh trực tiếp không dùng đến kết quả bên ngoài, đấy mới là mục đích chính của post này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 29-07-2018 - 08:15