Chủ đề này có 7 trả lời

[mduc123]

cho n thuộc Z+.Hãy xác định bộ ba (a,b,c) là các tập hợp con của tập {1,2,3,...,n} thỏa mãn A,A giao B khác rỗng,B giao c khác rỗng,C giao a khác rỗng

 

[Korkot]

A= {1,2,..,[n/3]+1}, B={[n/3]+2,..,2[n/3]+1}, C là số phần tử còn lại (Với điều kiện n khác 1?)

Bài toán không yêu cầu nên anh không cm nhưng nếu cần thì cứ nói.

[mduc123]

A= {1,2,..,[n/3]+1}, B={[n/3]+2,..,2[n/3]+1}, C là số phần tử còn lại (Với điều kiện n khác 1?)

Bài toán không yêu cầu nên anh không cm nhưng nếu cần thì cứ nói.

xin lỗi em soạn đề sai ạ cho n thuộc Z+.Hãy xác định số bộ ba (a,b,c) là các tập hợp con của tập {1,2,3,...,n} thỏa mãn ,A giao B khác rỗng,B giao C khác rỗng,C giao A khác rỗng,A giao B giao C bằng rỗng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 13-04-2018 - 21:10

[Korkot]

xin lỗi em soạn đề sai ạ cho n thuộc Z+.Hãy xác định số bộ ba (a,b,c) là các tập hợp con của tập {1,2,3,...,n} thỏa mãn ,A giao B khác rỗng,B giao C khác rỗng,C giao A khác rỗng,A giao B giao C bằng rỗng 

Vậy đề nào đúng? Đề sau chắc mai anh mới giải được

[mduc123]

Vậy đề nào đúng? Đề sau chắc mai anh mới giải được

dạ sau ạ do em vội nên sơ suất

[Korkot]

Vậy đề nào đúng? Đề sau chắc mai anh mới giải được

Theo gt A,B,C phải có chung ít nhất 1 phần tử. Gọi phần tử đó là a. Với n-1 phần tử còn lại ta có (n-1)n/2  cách chọn bộ ba A,B,C. Mà có n phần tử nên ta có n^2*(n-1)/2 cách chọn bộ ba.

Cái này em vô lớp xem đáp án đúng không. Anh chỉ biết ý tưởng thôi

[mduc123]

như vậy thì hình như vẫn còn thiếu trường hợp ạ vì ví dụ như A giao B có thể 2,3 phần tử  hoặc nhiều hơn nữa mà

[mduc123]

em đăng lời giải của bài được chữa trên lớp

Đề bài: Cho n $\mathbf{\in \mathbb{Z}^{+}}$ . Hãy xác định số bộ ba (A,B,C) là các tập hợp con của tập {1;2;3;..;n} thỏa mãn $A \cap B\neq \varnothing ,B \cap C\neq \varnothing ,C \cap A\neq \varnothing , A \cap B\cap C= \varnothing$

Lời giải:

Bổ đề: Cho tập A có k phần tử.Số các cặp (X,Y) là hai tập con khác rỗng của A mà $X\cap Y= \varnothing$ là:

$N_{k}= 3^{k}-2^{k+1}+1$

C/m:

Số tập con của X (của A) có i phần tử , $1\leq i\leq k-1$ là:$\binom{k}{i}$

Số tập con $Y\in A\setminus X,$ với $\mid A\setminus X\mid =k-i$  là: $2^{k-i}-1$

Do đó số cặp (X,Y) (Trong A) mà số phần tử của X bằng i là: $\binom{k}{i}(2^{k-i}-1)$

Cho i $= 1,2,...,k-1$ ta được : $N_{k}=\sum_{i=1}^{k-1}\binom{k}{i}(2^{k}-1)$

$\Rightarrow N_{k}=3^{k}-2^{k+1}+1$ (đpcm)

 

Trở lại bài toán:

Trước hết ta chọn tập $A\subset S$ , A có k phần tử,$2\leq k\leq n-1$

Số tập A là: $\binom{n}{k}$

Sau đó chọn số cặp: (X,Y) trong A .Theo bổ đề ta có số cặp là: $N_{k}=3^{k}-2^{k}=1$

Trong$S\setminus A$ , số cặp (X',Y') mà $X'\cap Y'\neq \varnothing$

Số cặp X' là $2^{n-k}$, số cặp Y' là $2^{n-k}$. 

Loại ba trường hợp $\left\{\begin{matrix} X'=\varnothing ,Y'\neq \varnothing & & \\ X'\neq \varnothing ,Y'= \varnothing & & \\ X'=Y'=\varnothing & & \end{matrix}\right.$ ta có số cặp (X',Y') là:

$2^{n-k}2^{n-k}-2(2^{n-k}-1)-1-N_{n-k}=4^{n-k}-3^{n-k}$

Số bộ (A,B,C) với $B=X\cup X',C= Y\cup Y'$,cho k=2,3,....,n-1 ta có:

S=$\sum_{k=2}^{n-1}\binom{n}{k}(3^{k}-2^{k-1}+1)(4^{n-k}-3^{n-k})$=$7^{n}-3.6^{n}+3.5^{n}-4^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 14-04-2018 - 13:24