Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2n+1$,$3n+1$ là các SCP và $2n+9$ là số nguyên tố.
Bài làm
Ta có: 2n+1; 3n+1 là các số chính phương nên ta đặt $\left\{\begin{matrix} 2n+1=x^{2} & & \\3n+1=y^{2} & \end{matrix}\right.$
Ko mất tính tổng quát ta giả sử x, y lớn hơn hoặc bằng 0.
=> $n=3n+1-2n-1=y^{2}-x^{2}$; $1=3(2n+1)-2(3n+1)=3x^{2}-2y^{2}$. (2)
Do đó $2n+9=2(y^{2}-x^{2})+9(3x^{2}-2y^{2})=25x^{2}-16y^{2}=(5x+4y)(5x-4y)$
Mà $5x+4y\geq5x-4y$ nên để 2n+9 là số nguyên tố thì:
$\left\{\begin{matrix} 5x+4y=2n+9 & \\5x-4y=1 & \end{matrix}\right.$
<=> $x=\frac{4y+1}{5}$. (1)
Thay (1) vào (2) ta dễ dàng tìm được x, y rồi thử xem chúng có thỏa mãn ko.
Mình xin đề xuất các bài toán sau:
Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b,c đôi một khác nhau sao cgo biểu thức:
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ nhận giá trị nguyên dương.
Bài 9; Tìm số nguyên tố p sao cho tồn tại x, y là các số nguyên thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}=p+1 & & \\ 2y^{2}=p^{2}+1 & & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 16-04-2018 - 08:57