Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ LỚP $10$ năm $2018-2019$

bất đẳng thức holder cosi bunhiacopxki

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 318 trả lời

#41 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 11:25

mà đoan đau ta co P =< .....  thi dau = xay ra khi x=y=z maf

à a bị nhầm :D


  N.D.P 

#42 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K70 Đại học Sư phạm Hà Nội

Đã gửi 17-04-2018 - 11:47

A cũng góp một bài khá hay: 

Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$

Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn

$4(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)][(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]$

$=20-(a+b+c)^2(xy+yz+zx)-(x+y+z)^2(ab+bc+ca) \leq 20-2\sqrt{(a+b+c)^2(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)(x+y+z)^2}=4$

$\Rightarrow (ab+bc+ca)(xy+yz+xz)\leq 1$

$\Rightarrow 1 \geq (ab+bc+ca)^2(xy+yz+xz)^2\geq 9abcxyz(a+b+c)(x+y+z)$ (Do $\left\{\begin{matrix} (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c) & & \\ (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z) & & \end{matrix}\right.$ )

$\Rightarrow abcxyz\leq \frac{1}{36}$



#43 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 11:57

Bài 21:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)

P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:49


#44 doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 17-04-2018 - 13:51

Bài 11: 

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{a}{{\sqrt {\left( {2{\rm{a}} + b} \right)\left( {2{\rm{a}} + c} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {2b + a} \right)\left( {2b + c} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {2c + a} \right)\left( {2c + b} \right)} }} \le 1$ (Nguyễn Việt Hùng)

P/s: các bạn hãy đưa ra các bài phù hợp với lớp 9 một chút :D

áp dụng BĐT Cauchy- Schwartz

Ta có: $(2a+b)(2a+c)=(a+a+b)(a+c+a)\geq (a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab})^2=a(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\Rightarrow \sqrt{(2a+b)(2a+c)}\geq \sqrt{a}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}}\leq \frac{a}{\sqrt{a}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Cmtt: $\frac{b}{\sqrt{(2b+a)(2b+c)}}\leq \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}}\leq \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Cộng vế theo vế ta được đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 17-04-2018 - 14:13

$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#45 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 17-04-2018 - 15:02

à a bị nhầm :D

anh làm lại đi. rồi post đáp án lên em xem vs


:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#46 doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 17-04-2018 - 15:20

Bài 12
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + b + c}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$ (Sưu tầm)


  (Sưu tầm Bđt của thầy Phạm Kim Hùng)

Ta nhóm và sử dụng BĐT AM-GM

$3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{2b}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{2c}{a}+\frac{a}{b})\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 17-04-2018 - 15:34

$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#47 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 17-04-2018 - 15:21

 \leq 20-2\sqrt{(a+b+c)^2(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)(x+y+z)^2}=4$

 

tại sao vậy anh.


:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#48 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 16:31

tại sao vậy anh.

Chị đấy :D

Theo BĐT $AM-GM$ thôi ( có dấu trừ nên đổi dấu )


  N.D.P 

#49 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 17:34

Bài 22:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh: 

$\frac{{2a + b}}{{3a + 2b + c}} + \frac{{2b + c}}{{3b + 2c + a}} + \frac{{2c + a}}{{3c + 2a + b}} \le \frac{3}{2}$ (Phạm Quốc Sang)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 17-04-2018 - 17:41


#50 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-04-2018 - 17:37

TOPIC sôi nổi quá, vui thật đấy

Mình xin đưa ra lời giải cho Bài 3 :

 P = $\frac{x}{y^3+16}+\frac{y}{z^3+16}+\frac{z}{x^3+16}$

                                               $A=3-16P= \frac{xy^3}{y^3+16}+\frac{yz^3}{z^3+16}+\frac{zx^3}{x^3+16}$

                                          $\left\{\begin{matrix}y\geq 0 & & \\ (y-2)^2(y+4)\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

                                                                           $\Leftrightarrow y^3+16 \geq 12y$

 Tương tự, ta cũng có $x^3+16 \geq 12x$ ; $z^3+16 \geq 12z$

$ \Rightarrow \sum \frac{xy^3}{y^3+16} \leq \frac{\sum xy^2}{12} \leq \frac{x^2y+xyz+yz^2}{12}$

$=\frac{y(x^2+xz+z^2)}{12} \leq \frac{y(x+z)^2}{12}= \frac{y(3-y)^2}{12}$

$=\frac{2y(3-y)^2}{24} \leq \frac{1}{3}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{6}$

Dấu bằng xảy ra tại $x=0;y=1;z=2$

P/s: Topic còn nhiều bài quá, các bạn cố gắng giải nhé :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:48


#51 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 17:47

Bài 23

Cho các số thực không âm a, b, c mà trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.

Chứng minh: 

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{4{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge 2$ (Schur)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 17-04-2018 - 17:48


#52 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 17-04-2018 - 18:39

Bài 6: Cho a, b, c>0 thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$ (Phạm Kim Hùng)

Bài 7: Cho a, b là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$ (Vasile Cirtoaje)

Mình xin đưa ra lời giải hai bài này 

Bài 6:

Ta có: $\frac{a+1}{b+1}=a+1-\frac{b(a+1)}{b+1}$ nên BĐT quy về chứng minh:

$\sum \frac{b(a+1)}{b+1}\geq 3$.

Bất đẳng thức trên đúng theo AM - GM 3 số kết hợp với điều kiện $abc=1$

Bài 7: 

Theo AM - GM ta có:

$a^3+b^3+1\geq 3ab\Rightarrow ab\leq 1$; $a^3+1+1\geq 3a\Rightarrow 3a\leq a^3+2=4-b^3$; $3b\leq 4-a^3$.

Từ đó ta có:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4=3a.a^3+3b.b^3+2a^3b^3.ab\leq (4-b^3)a^3+(4-a^3)b^3+2a^3b^3=4(a^3+b^3)=8$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#53 DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Qb
  • Sở thích:ko

Đã gửi 17-04-2018 - 19:30

A cũng góp một bài khá hay: 

Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$

Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn

Xét $4(\sum ab)(\sum xy)=((\sum a)^2-\sum a^2)((\sum x)^2-\sum x^2)=20-(\sum a^2)(\sum x)^2-(\sum x^2)(\sum a)^2$

$\leq 20-2(\sum a)(\sum x)\sqrt{(\sum a^2)(\sum x^2)}=4$

$1\geq (\sum ab)(\sum xy)\geq 3\sqrt{abcxyz(a+b+c)(x+y+z}=6\sqrt{abcxyz}$

$abcxyz\leq \frac{1}{36}$


Little Homie


#54 DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Qb
  • Sở thích:ko

Đã gửi 17-04-2018 - 19:33

Bài 21:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)

P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không :D

Sử dụng $AM-GM$


Little Homie


#55 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 20:09

Bất đẳng thức của bạn sai rồi vế phải là $\frac{3}{\sqrt{2}}$

  

Xin lỗi xuanhoan23112002 và các bạn đang theo dõi topic do sơ suất nên đã đánh máy nhầm. 

Mong các bạn thông cảm

P/s: đã sửa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 17-04-2018 - 20:09

  N.D.P 

#56 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 20:18

Bài 24: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$. Chứng minh rằng $\sum_{cyc}\frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$


  N.D.P 

#57 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 17-04-2018 - 20:20

Bài 25: Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và a+b+c=3

1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M =$a^2+b^2+c^2$

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của N =$a^3+b^3+c^3$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của H =$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

P/s: Mỗi câu là 1 bài toán riêng mình ghép chung thành 1 bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 17-04-2018 - 20:47


#58 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 17-04-2018 - 20:46

Bài 26: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=100$

Xác định giá trị lớn nhất của M =$11xy+3xz+2012yz$



#59 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-04-2018 - 21:13

Bài 16: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$, $a,b,c< \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{1-2a^{2}}{(1-2a)^{2}}+\frac{1-2b^{2}}{(1-2b)^{2}}+\frac{1-2c^{2}}{(1-2c)^{2}}\geq 21$

Ta có bổ đề quen thuộc $\sum \frac{a}{b+c-a} \geq 3$

 

$\sum \frac{1-2a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}+\frac{2a^2}{(1-2a)^2}$

$\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{(a+b+c)^2-4a^2}{(b+c-a)^2}=\sum \frac{b+c+3a}{b+c-a}=3+\sum \frac{4a}{b+c-a }\geq 15$

 

$\sum \frac{2a^2}{(b+c-a)^2} \geq \sum \frac{2}{3}(\sum \frac{a}{b+c-a})^2\geq 6$

$-> P \geq 21$



#60 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 21:18

Sử dụng $AM-GM$

Nếu có thể hãy đưa ra lời giải cụ thể ?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, holder, cosi, bunhiacopxki

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh