Bài 18: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$
Bạn tr2512 đã đưa ra một lời giải khá hay. Sau đây sẽ là một số cách khác ( có vẻ dài hơn )
Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$P=\frac{a}{(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c})\sqrt{b+c}}+\frac{b}{(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c})\sqrt{a+c}}+\frac{c}{(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c})\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{2}$
Theo $AM-GM$ ta có: $\sqrt{2a}\sqrt{b+c}\leq \frac{2a+b+c}{2};\sqrt{2b}\sqrt{b+c}\leq \frac{3b+c}{2};\sqrt{2c}\sqrt{b+c}\leq \frac{b+3c}{2}$.
Tương tự nên ta có: $P\geq \frac{2a}{2a+5b+5c}+\frac{2b}{2b+5a+5c}+\frac{2c}{2c+5a+5b}=2\left ( \frac{a^{2}}{2a^{2}+5ab+5ac}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+5ab+5ac}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+5ac+5bc} \right )$
Áp dụng BDT $Cauchy-Schwarz$:
$\sum_{cyc}\frac{a^{2}}{2a^{2}+5ab+5ac}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+10ab+10bc+10ca}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{4(a+b+c)^{2}}=\frac{1}{2}$ ( xong =)) )
Cách 3: Ta có: $P=(a+b+c)\left ( \frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{a+c}} \right )-(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}+\sqrt{a+b})$
Theo BDT $Cauchy-schwarz$ ta có: $(a+b+c)\left ( \frac{1}{\sqrt{b+c}} +\frac{1}{\sqrt{c+a}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}} \right )\geq \frac{9(a+b+c)}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}$
Lại có theo $AM-GM$: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{3.2(a+b+c)}$. Từ đó ta có:
$P\geq \frac{9(a+b+c)}{\sqrt{3.2(a+b+c)}}-\sqrt{3.2(a+b+c)}=\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{\sqrt{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ ( $Q.E.D$ )