Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\begin{bmatrix} 0; \frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ Biết $f'(x)cosx + f(x)sinx = 1$ $\forall x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ và $f(0)=1$ Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f(x)dx$
A. $I=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$
B. $I= \frac{3-\sqrt{3}}{2}$
C. $I= \frac{2-\sqrt{3}}{2}$
D. $I=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Ở bài này mình đã tính được ra $f(\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ xong là bí luôn. Ko nghĩ ra được hướng gì để biến đổi nữa. Nhưng cái biểu thức đó là $f(x)$ không phải $f'(x)$ nên làm hoài cũng chẳng được @@
... Suy ra $f(x)=-f''(x)$ hay $y=-y''$ (1)
Đặt $y'=z$ (2)
Xem $z$ là hàm của biến $y$. Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo biến $x$ : $y''=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}.\frac{dy}{dx}=y'.\frac{dz}{dy}=z.\frac{dz}{dy}$
Thay vào (1) : $y=-z.\frac{dz}{dy}\Rightarrow zdz=-ydy$ (3)
Lấy nguyên hàm 2 vế của (3) : $\frac{z^2}{2}=-\frac{y^2}{2}$ + hằng số $\Rightarrow z^2=C^2-y^2\Rightarrow z=\pm \sqrt{C^2-y^2}$
+ Nếu $z=\sqrt{C^2-y^2}$ :
$\frac{dy}{dx}=\sqrt{C^2-y^2}\Rightarrow \frac{dy}{\sqrt{C^2-y^2}}=dx$ (4)
Lấy nguyên hàm 2 vế của (4) : $\arcsin\frac{y}{C}=x+D\Rightarrow y=C\sin(x+D)$ (5) (với $C,D$ là các hằng số)
+ Nếu $z=-\sqrt{C^2-y^2}$ :
Làm tương tự, ta tìm được $y=C\cos(x+D)$ (6) (với $C,D$ là các hằng số)
(Như vậy, hàm số $y$ có 2 dạng (5) và (6), chỉ cần tìm 1 trong 2 dạng, không cần làm cả hai)
Nếu chọn $y$ có dạng (5) thì $y'=C\cos(x+D)$. Thay vào dữ kiện $y'.\cos x+y.\sin x=1$ :
$C\cos(x+D)\cos x+C\sin(x+D)\sin x=1\Rightarrow C\cos D=1$ (7)
Mặt khác, $y(0)=1\Rightarrow C\sin D=1$ (8)
Từ (7) và (8), ta có thể chọn $D=\frac{\pi}{4}$ ; $C=\sqrt{2}\Rightarrow y=\sqrt{2}\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )$
Nếu chọn $y$ có dạng (6) thì làm tương tự, ta được $y=\sqrt{2}\cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )$
Vậy : $I=\int _0^\frac{\pi}{6}\sqrt{2}\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )dx=\int _0^\frac{\pi}{6}\sqrt{2}\cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )dx=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.
Edited by chanhquocnghiem, 09-05-2018 - 07:26.
